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學習重點 能將正整數寫成質因數冪乘積，並用「各質因數指數的選擇」找出全部正因數。 比較質因數冪乘積的大小時，先約去共同因數，再比較剩餘乘積，避免直接計算大數。 理解正因數總和公式的來源，分清楚「因數個數」「因數總和」與「真因數總和」。 能完整列出真因數，或利用正因數總和，證明一個數是否為完美數。 能以反例與質因數指數說明：同一個數的兩個因數相乘，結果未必仍是原數的因數。 核心觀念 一、質因數分解：因數由指數的選擇決定 每個大於 1 的正整數，都可以分解成質數的乘積。將相同質因數合併，即可寫成冪乘積。例如 12＝2²×3。判斷某個正整數是不是 12 的因數，關鍵在於：只能使用 12 已有的質因數，而且每個質因數使用的次數，都不能超過原數。 一般而言，若 N＝pᵃ×qᵇ，其中 p、q 是不同質數，則 N 的每個正因數都可寫成 pⁱ×qʲ，其中 i 可取 0、1、…、a，j 可取 0、1、…、b。各種指數選擇彼此獨立；有更多種質因數時，也依相同方式處理。 以 12＝2²×3 為例，2 的指數可選 0、1、2，3 的指數可選 0、1，整理如下： 3 的選擇搭配 2⁰搭配 2¹搭配 2² 3⁰＝1124 3¹＝33612 因此，12 的全部正因數是 1、2、3、4、6、12，共 (2＋1)×(1＋1)＝6 個。教學時可引導學生從 12＝2×2×3 出發：先說明「一個質因數都不取」得到 1；再「只取 2」得到 2、2×2＝4；接著「取一個 3」，再分別搭配不取 2、取一個 2、取兩個 2，得到 3、6、12。以「不含 3」「含一個 3」分組的系統化排列避免遺漏，最後可用成對檢查（1×12、2×6、3×4）驗證是否齊全。所有質因數都取零次方時，乘積就是 1；全部取最高次方時，乘積就是原數。 二、兩個因數的乘積，何時仍是原數的因數？ 「某數的兩個因數相乘，也會是某數的因數」並不正確。例如 3、6 都是 12 的因數，但 3×6＝18，不是 12 的因數。即使乘積比原數小，也不能保證成立：2、4 都是 12 的因數，2×4＝8 小於 12，卻不是 12 的因數。 原因是因數相乘時，相同質因數的指數要相加。12＝2²×3，而 2×4＝2³，所需的 2 已超過原數具有的兩個 2，因此不能整除 12。相對地，2×3＝6＝2¹×3¹，各質因數的指數都未超過原數，所以 6 是 12 的因數。教師例子中的 2 與 3，是從 2×2×3 中「取出不同位置的質因數」，並沒有重複使用，這才是 2×3 成立的原因。 一般而言，兩個因數相乘後，只有在每一種質因數的指數和，都不超過原數相對應的指數時，乘積才仍是原數的因數。特別地，若兩個因數互質（例如 4 與 3），乘積必為原數的因數，因為它們沒有共同質因數，指數不會疊加。教師應強調「在原數提供的質因數數量內選取」，不能將一次成立的例子推廣成必然規則。 三、質因數冪乘積的大小比較 比較由多個冪相乘構成的正整數，不必先算出完整數值。可以約去共同的正因數，也可以求兩數的比值：比值大於 1，表示分子較大；小於 1，表示分母較大。 例如設 a＝2³×3²×7³、b＝2³×3×7⁴、c＝2⁴×3³×7²。共同因數取每個質因數的最小指數，即 2³×3×7²，約去後分別剩下： a：3×7＝21。 b：7²＝49。 c：2×3²＝18。 因為 49＞21＞18，所以 b＞a＞c。也可分別比較 b÷a＝7÷3＞1，以及 a÷c＝7÷6＞1，得到相同結論。比較的依據是整體乘積，不能只看某一個質因數的指數。 四、正因數總和：各組冪次先加，再相乘 若 N＝pᵃ×qᵇ，則其所有正因數的總和為： （1＋p＋p²＋…＋pᵃ）×（1＋q＋q²＋…＋qᵇ）。 這個公式來自乘法分配律：展開時，每一項都恰好選到一種 p 的冪與一種 q 的冪，因此每個正因數都會出現一次，且不重複。公式中的 1 是質因數的零次方，不能漏掉。 以 2520 為例，先分解為 2³×3²×5×7，正因數總和就是： （1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）×（1＋7）＝15×13×6×8＝9360。 所求項目計算方式是否包含原數 正因數個數各質因數的「指數加 1」後相乘包含 正因數總和各質因數從零次方到最高次方相加，再將各組相乘包含 真因數總和正因數總和減去原數不包含 五、完美數與完全數的判定 本單元中的「完美數」與「完全數」指相同概念：一個正整數等於其所有真因數的總和。這裡的真因數是除了本身以外的正因數，仍包含 1。若所有正因數總和為 S，則判定條件也可以寫成 S－N＝N，也就是 S＝2N。 28＝2²×7，全部正因數為 1、2、4、7、14、28。排除本身後，1＋2＋4＋7＋14＝28，因此 28 是完美數。也可計算正因數總和（1＋2＋4）×（1＋7）＝56＝2×28，得到相同結論。 496＝2⁴×31，其中 31 是質數。全部正因數可分為 1、2、4、8、16，以及這五個數各乘以 31 所得的 31、62、124、248、496。因此真因數總和為： 1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248＝496。 也可以用公式計算：（1＋2＋4＋8＋16）×（1＋31）＝31×32＝992，扣除本身 496，得到 496。因此 496 是完全數。 觀察 6＝2×3、28＝2²×7、496＝2⁴×31，都具有 2ⁿ⁻¹×(2ⁿ－1) 的形式，且 2ⁿ－1 為質數。此時正因數總和為 (2ⁿ－1)×2ⁿ，恰為原數的兩倍，可作為驗算的思路。申論作答應交代因數如何完整取得（質因數分解與指數組合）、排除本身，以及加總結果符合定義，才能形成完整證明。 常考陷阱 「指數較大的數一定較大」：不同質因數之間不能只比指數，也不能把指數相加後比較。先約去共同因數，再比較剩下的乘積。 「正因數總和就是各指數加 1 後相乘」：這算出的是因數個數。求總和時，每一組都要把實際冪值相加。 「總和公式可以省略 1」：省略零次方會漏掉許多因數；每一組都必須從 1 開始。 「真因數不包含 1」：本單元只排除原數本身，不能排除 1，也不列入負因數或 0。 「所有正因數總和等於原數，就是完美數」：所有正因數包含原數，完美數的全部正因數總和應等於原數的兩倍。 「兩個因數的乘積小於原數，就仍是因數」：大小不是整除判準，必須檢查每種質因數的指數是否超量。 「兩個因數相乘一定不是因數」：也不正確，互質的兩個因數相乘仍是因數；應以指數是否超過原數判斷，用反例否定「一定是」即可。 「列出幾個因數相加即可證明」：定義要求所有真因數；應用指數組合或成對列舉，確保完整且沒有重複。 記憶口訣 找因數，指數選；求個數，指數加一連乘算。求總和，各冪先加再相乘；求真和，記得扣本身。比大小，共同先約；乘因數，指數別超。完美數，真和等本身；全部因數和，恰為兩倍身。