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學習重點 將整數拆成兩個質數之和時，先用奇偶性縮小範圍，再以「小數在前」避免重複計數。 區分「質數拆法」、「乘積個數」與「符合位數限制的密碼個數」，計算完成後仍須檢查題目限制。 掌握大於 3 的質數除以 6 只可能餘 1 或 5，並能推導其平方除以 6 必餘 1；未限制大小時，還要補上質數 2、3 的情形。 利用「質數整除乘積，必整除其中一個因數」，把質數方程化為較簡單的因數配對問題。 依餘數形式判斷合數時，必須確認找到的因數小於原數本身，避免漏掉 2、3 等例外。 核心觀念 一、兩個質數之和：先判奇偶，再列不重複配對 質數是大於 1，且正因數只有 1 與本身的正整數。2 是唯一的偶質數，其餘質數都是奇數；1 不是質數。 若正整數 N＝a＋b，且 a、b 都是質數，可依 N 的奇偶性分類： N 為奇數：兩個加數必須一奇一偶，因此其中一個一定是 2，只須檢查 N－2 是否為質數。 N 為大於 4 的偶數：不能使用 2，因為另一個加數 N－2 是大於 2 的偶數，必為合數；因此只能找兩個奇質數。 N＝4：可寫成 2＋2。題目未要求兩個質數相異時，允許使用相同質數。 若交換加數不算不同拆法，就固定 a≤b，只檢查不超過 N÷2 的質數 a，再判斷 N－a 是否為質數。例如 3＋5 與 5＋3 是同一組，不應重複計算。 二、拆法數不一定等於密碼數 若月份與日期分別有 m 組、n 組拆法，則配對選法共有 m×n 組。但題目若問的是不同乘積形成的密碼，還須檢查：不同配對是否得到相同乘積，以及乘積是否符合指定位數。 以月份 8、日期 24 為例：8 為偶數，只能拆成兩奇質數，不重複拆法只有 3＋5（1＋7 中的 1 不是質數）；24 的拆法為 5＋19、7＋17、11＋13（1＋23 不行，9＋15 皆非質數）。其乘積如下： 月份的質數日期的質數四數乘積 3、55、191425 3、57、171785 3、511、132145 三個乘積互不相同，且都介於 1000 與 9999 之間，符合四位數限制，故密碼共有 1×3＝3 種可能。這類題目應依序完成列拆法、配對、算乘積、去除重複、檢查位數。由於乘法具交換律，四個質數的排列順序不影響乘積，因此加數順序本來就不應重複計算。 三、除以 6 的餘數分類與質數判別 依整數除法，正整數可寫成 6n＋r，其中 n 為非負整數，r 為 0、1、2、3、4、5。討論 6n 時，因原數限定為正整數，須取 n≥1。 形式因數或例外判斷 6n正整數情況下至少為 6，可被 2、3 整除一定不是質數 6n＋1n＝0 時為 1（非質數）；其餘仍須檢查因數不一定是質數 6n＋2等於 2（3n＋1）；n＝0 時為 2除 2 外，都是合數 6n＋3等於 3（2n＋1）；n＝0 時為 3除 3 外，都是合數 6n＋4等於 2（3n＋2），且至少為 4一定不是質數 6n＋5不能僅憑此形式判定質數可能是質數，也可能是合數 因此，在 n 可為 0 的條件下，整類一定不是質數的形式為 6n 與 6n＋4。6n＋2、6n＋3 分別包含質數 2、3，不能直接說整類一定不是質數。申論作答時，建議寫出因式分解（如 6n＋4＝2（3n＋2））說明理由，並補充：「6n＋2、6n＋3 除了 n＝0 時的 2、3 以外皆為合數」，論述最完整。 判斷合數的關鍵是：找到的因數必須大於 1 且小於原數。例如 6n＋2＝2（3n＋1），當 n＝0 時 3n＋1＝1，因數 2 就是原數本身，不能據此判為合數。 若已知質數 p＞3，便可排除餘數 0、2、3、4，得到p 除以 6 只可能餘 1 或 5。但反過來不成立：例如 25＝6×4＋1、35＝6×5＋5，兩者都是合數。 四、質數平方除以 6：先分離 2、3 若 p＞3 為質數，可分成下列兩種情況： p＝6n＋1，則 p²＝36n²＋12n＋1＝6（6n²＋2n）＋1。 p＝6n＋5，則 p²＝36n²＋60n＋25＝6（6n²＋10n＋4）＋1。 兩式括號內皆為整數，故大於 3 的質數平方後除以 6，餘數必為 1。題目要求證明「大於 5 的質數」時，因其也都大於 3，同樣先說明只能是 6n＋1 或 6n＋5，再展開平方即可完成證明。 若只說「p 是質數」，就必須補上小質數：p＝2 時，p²＝4，餘 4；p＝3 時，p²＝9，餘 3。因此所有質數平方除以 6 的可能餘數為1、3、4，不可能餘 5（也不可能餘 0、2）。 質數 pp²p² 除以 6 的餘數 244 393 大於 3 的質數（如 5、7、11）25、49、1211 五、質數方程：利用整除性，再做因數配對 質數 q 若整除整數乘積 abc，則 q 至少整除 a、b、c 其中之一；若 a、b、c 本身也都是質數，就表示其中至少一個等於 q。 例如三個奇質數滿足 abc＝11（a＋b＋c），由 11 整除 abc，可知至少一個質數為 11。不妨令 c＝11，代入並除以 11： ab＝a＋b＋11ab－a－b＋1＝12（a－1）（b－1）＝12 由於 a、b 都是奇質數，故 a－1、b－1 都是至少為 2 的偶數。12 的正因數配對為 1 與 12、2 與 6、3 與 4，其中只有 2 與 6 都是偶數，因此 a、b 為 3、7，三數為 3、7、11。驗算：和為 21，21×11＝231，乘積 3×7×11＝231，故乘積為 231。 這裡的關鍵是奇質數至少為 3，所以減 1 後必為正偶數。一般處理質數整數方程時，可依「找固定質因數、代入約分、移項配成乘積、篩選因數組、代回驗算」的順序解題。選擇題也可反向檢驗：選項必須能分解成三個奇質數之積，且等於其和的 11 倍，例如 209＝11×19 只有兩個質因數，315＝3²×5×7 不含 11，皆可排除。 常考陷阱 把加數交換當成新拆法：若求不重複組合或乘積，a＋b 與 b＋a 不應重算；除非題目明確將順序列為區別。 把 1 當成質數：拆成 1＋7、1＋23 都不算質數拆法，誤算會使組合數變多。 自行要求質數互異：「兩個質數」不代表「兩個相異質數」。例如月份拆出 5、日期也拆出 5，仍是合法組合。 只乘拆法數就結束：問密碼個數時，還要核對乘積是否重複、是否為指定位數。 認為偶數形式一定不是質數：2 是例外。看到 3 的倍數也須注意 3 本身仍是質數。 將必要條件誤當充分條件：大於 3 的質數一定形如 6n＋1 或 6n＋5，但這兩種形式的數未必是質數。 把所有質數平方都判為餘 1：只有 p＞3 才能直接套用；未限制大小時，須另外檢查 2（餘 4）、3（餘 3），因此不可能的餘數是 5。 申論只寫結論：應先說明為何只剩餘 1、5 兩類，再展開平方，寫成「6 的整數倍＋1」。 因數配對後忘記原條件：配對所得數值仍須符合正整數、奇數與質數限制，最後代回原式驗算。 記憶口訣 拆和小在前，一不是質數，乘後查位數；質數先看二三，餘六只留一五；平方統一餘一，二三另補四與三；乘積遇質因，先找誰等於它。