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學習重點 掌握連除性質：在除數不為零時，連續除以兩數，等於除以這兩數的乘積，即 a ÷ b ÷ c＝a ÷（b × c）。 能依連除算式擬出貼近生活的文字問題，常用「先裝袋、再裝盒」的兩層分裝情境，讓兩次除法與除以乘積都有意義。 理解除法算式中各數的意義與單位，尤其要區分「剩幾袋」與「剩幾顆」，並說明兩種算式餘數不同的原因。 能把被除數改為兩除數乘積的倍數，使每一步都能整除，避免餘數干擾學童理解連除性質。 核心觀念 一、連除性質：連續分組可以合併看成一次分組 連除性質可寫為：a ÷ b ÷ c＝a ÷（b × c），其中 b、c 不為零。沒有括號的連除算式依照由左至右的順序計算，也就是先算 a ÷ b，再將所得的商除以 c。 以分裝物品為例，每 2 顆裝成一袋，每 3 袋裝成一盒，就表示每盒需要 2 × 3＝6 顆。因此，先算能裝幾袋，再算能裝幾盒，與直接按照每盒 6 顆來計算，具有相同的分組意義。 兩個除數的乘積不是任意相乘，而是由情境中的單位關係決定。「每袋 2 顆」與「每盒 3 袋」合起來，才能得到「每盒 6 顆」。教學時應先讓學童理解這個關係，再整理成運算性質。 二、依算式擬題：必須讓兩次除法都有意義 依據 a ÷ 2 ÷ 3 或 a ÷（2 × 3）擬題時，可以使用「共有 a 個物品，每 2 個裝成一袋，再將每 3 袋裝成一盒」的情境。第一次除以 2，求得袋數；第二次除以 3，求得盒數；直接除以 6，則是以「每盒 6 個」一次求盒數。一個好的布題應交代四件事：總量、每袋容量、每盒袋數、要求的量。 例如以 104 ÷ 2 ÷ 3 為基礎，可布題為：「烘焙坊有 104 片餅乾，每 2 片裝成一袋，每 3 袋裝成一盒，最多可裝成幾盒？未裝成整盒的餅乾共有幾片？」 計算時，104 ÷ 2＝52，表示共有 52 袋；52 ÷ 3 的商為 17、餘數為 1，表示可裝成 17 盒，另剩 1 袋。因為每袋有 2 片，未裝成整盒的餅乾共有 2 片。直接以每盒 6 片計算，104 ÷ 6 的商為 17、餘數為 2，得到相同結果。 同理，若已知學生寫出「214 ÷ 2 ÷ 3」與「214 ÷（2 × 3）」兩種算式，可反推老師的布題為：「農場有 214 顆雞蛋，每 2 顆裝成一袋，再把每 3 袋裝成一盒，最多可裝成幾盒？還剩下幾顆？」只要數字、兩層分裝關係與問句都對應到算式即可，物品種類可以自由替換。 布題不只要讓數字吻合，還要讓算式中的每一步都能對應到情境。若只說把物品平均分給 2 人，又直接要求除以 3，卻未交代第二次分配的對象與方式，就無法完整呈現連除的意義。 三、商相同，餘數的單位卻可能不同 以 214 個物品、每 2 個一袋、每 3 袋一盒的分裝情境來看，214 ÷ 2＝107，求得的是 107 袋；再將 107 袋每 3 袋分成一盒，可裝 35 盒，剩 2 袋。若直接以每盒 6 個計算，則可裝 35 盒，剩 4 個。 計算方式商的意義餘數的意義 214 ÷ 2 ÷ 3＝107 ÷ 3＝35 … 2可裝成 35 盒最後剩 2 袋 214 ÷（2 × 3）＝214 ÷ 6＝35 … 4可裝成 35 盒最後剩 4 個物品 這裡的 2 與 4 並不矛盾，因為2 袋＝4 個物品。學童會疑惑「同一題餘數為什麼不同」，或誤以為「35 … 2 與 35 … 4 相等」，問題都出在只比較餘數的數字，忽略了單位。若題目問的是「剩下幾個物品」，就必須把袋數換回原物品的個數，不能直接以最後一次除法的餘數作答。 換算關係為：總剩餘個數＝第二次餘數 × 第一個除數＋第一次餘數。以 214 為例，第一次 214 ÷ 2 沒有餘數，第二次剩 2 袋，所以剩 2 × 2＋0＝4 個，與 214 ÷ 6 的餘數一致。在正整數分裝情境中，兩種算法求得的商一定相同，差異只在餘數的表示單位。 也要區分精確除法的值與整數除法的商、餘數。214 ÷ 2 ÷ 3 與 214 ÷ 6 的精確值都等於 35 又 2/3；「35 盒、剩 2 袋」與「35 盒、剩 4 個」則是依情境描述分組後的結果。不能把「商與餘數」當成沒有單位的普通數值來比較。 四、整除布題：被除數選兩除數乘積的倍數 若教學目的是讓學童初步理解連除性質，而不希望餘數與單位轉換分散注意力，可將物品總數改為2 × 3＝6 的倍數。例如改成 216 個，先算 216 ÷ 2＝108，再算 108 ÷ 3＝36；直接算 216 ÷ 6＝36，也得到相同結果，且各步都沒有餘數。 與原數 214 最接近的 6 的倍數是 210（210 ÷ 2＝105，105 ÷ 3＝35；210 ÷ 6＝35）與 216。作答時可寫其中一個，並附上兩種算式驗證結果相同，說服力最高。 一般而言，在正整數分裝情境中，若兩除數為 b、c，選擇被除數 a＝k × b × c，其中 k 為正整數，就能確保先除以 b 後所得的商仍可被 c 整除。 只要求總數能被第一個除數整除，並不足夠。例如 214 雖然能被 2 整除，所得的 107 卻不能被 3 整除。要讓連除過程都沒有餘數，應直接檢查總數是否為兩除數乘積的倍數。判斷 6 的倍數：個位數是偶數，且各位數字和是 3 的倍數。 修改布題時，保留原來的分裝關係，只調整總量即可；答案不唯一，只要總量是 6 的正整數倍，就能達到整除教學的目的。 常考陷阱 把「剩 2 袋」寫成「剩 2 顆」：最後一次除法處理的是袋數，餘數也以袋為單位。若要回答顆數，須乘上每袋的顆數。 看到餘數不同，就判定連除性質不成立；或反過來說兩個結果「相等」：應先檢查兩個餘數的單位。將它們換成相同單位後，才能比較實際剩餘量；「35 … 2」與「35 … 4」作為算式結果並不相等，而是在情境中描述同一個剩餘量。 將連除改成除以兩數的商：a ÷ b ÷ c 應合併為 a ÷（b × c），不能改為 a ÷（b ÷ c）。 擬題只放入數字，沒有交代分組關係：必須說清楚每袋有多少物品、每盒有多少袋，才能支持兩次除法及除以乘積的解法。 題目只問「剩多少」，對象含糊：宜明確寫成「剩幾袋」或「未裝成整盒的物品共有幾個」，避免把不同層次的剩餘量混在一起。 修改總數時只選偶數：偶數只能保證可被 2 整除；若還要接著除以 3 而無餘數，總數須為 6 的倍數，例如 210、216，而不是 212、214。 修改數量時連分裝方式一起改：題目要求只改哈密瓜數量，「每 2 顆一袋、每 3 袋一盒」應保持不變。 認為有餘數就不能用來擬題：有餘數的情境仍可呈現連除與除以乘積的關係；但若教學目標是排除餘數干擾，就應改用乘積的倍數。 記憶口訣 連除合併乘除數，餘數先看是何物；布題交代分裝路，整除總量取積倍。