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學習重點 辨認重複獨立試驗：每次試驗只有成功、失敗兩類結果，各次結果互不影響，且每次成功的機率相同。 指定次序用乘法：題目已指定每一次的結果時，將各次結果發生的機率相乘。 指定成功次數要數排列：只要求成功幾次，卻未限定出現位置時，必須計入所有符合條件的次序。 掌握二項分配公式：恰好成功 k 次的機率為 C(n,k) × p 的 k 次方 × (1－p) 的 n－k 次方。 核心觀念 一、先確認試驗模型與成功事件 「成功」只是計算時指定的結果，不代表好壞。例如投硬幣時，可把正面定為成功、反面定為失敗；討論孩子性別時，也可把男孩定為成功、女孩定為失敗。若成功機率為 p，失敗機率就是 1－p。 重複獨立試驗須掌握三個條件：試驗次數固定；各次試驗互相獨立；每次成功機率固定。若再以成功、失敗區分每次結果，就可以用二項分配計算成功次數的機率。 公平硬幣每次出現正面、反面的機率均為 1/2，連續投擲通常視為彼此獨立。孩子性別的計算則依題目採用男女機率各為 1/2、各次出生彼此獨立的模型。機率相等與彼此獨立是不同條件：前者說明各種結果的機率，後者說明不同次試驗之間的關係，不可混為一談。 二、獨立事件的乘法法則：算一種指定次序 若事件 A、B、C 互相獨立，三者同時發生的機率為： P(A 且 B 且 C)＝P(A) × P(B) × P(C)。 題目若已指定「先出現某結果，再依序出現其他結果」，每個位置都已確定，只須依位置填入機率後相乘。例如公平硬幣連投三次，指定次序為「正、反、反」，機率就是： (1/2) × (1/2) × (1/2)＝1/8。 這裡計算的是完整三次結果符合指定次序的機率，第一次出現正面也是待發生事件的一部分，必須乘入其機率。三次投擲共有 2 × 2 × 2＝8 種等可能的次序，而指定的次序只占其中一種，也可得到 1/8。 三、組合數：成功的位置有幾種選法 若題目只說「恰好成功 k 次」，沒有指定成功發生在哪幾次，就要從 n 個位置中挑選 k 個成功位置，選法共有 C(n,k) 種。 C(n,k)＝n! ÷［k! × (n－k)!］。其中 n! 表示從 n 連乘到 1，並約定 0!＝1。組合數是在選成功的位置，不是在排列彼此不同的成功結果。 例如四次試驗恰好成功兩次，可以把成功位置選為前兩次、首尾兩次等，共有 C(4,2)＝4 × 3 ÷ (2 × 1)＝6 種。若以男、女表示出生結果，六種次序為：男男女女、男女男女、男女女男、女男男女、女男女男、女女男男。 這些次序彼此互斥，一次完整的出生結果只會符合其中一種。因此，先用乘法求出每種次序的機率，再將六種機率相加。當每種次序機率相同時，就可用「種數 × 每種的機率」計算。 四、二項分配：一次整合次序與機率 設 X 表示 n 次獨立試驗中的成功次數，每次成功機率均為 p，則： P(X＝k)＝C(n,k) × p 的 k 次方 × (1－p) 的 n－k 次方。 C(n,k)：決定哪 k 個位置成功。 p 的 k 次方：計算 k 次成功的機率乘積。 (1－p) 的 n－k 次方：計算其餘 n－k 次失敗的機率乘積。 在四次獨立出生、男女機率各半的模型中，恰好兩男兩女相當於 n＝4、k＝2、p＝1/2，因此機率為： C(4,2) × (1/2) 的 2 次方 × (1/2) 的 2 次方＝6/16＝3/8。 當 p＝1/2 時，每一種完整次序的機率均為 (1/2) 的 n 次方，所以公式可簡化為P(X＝k)＝C(n,k) ÷ 2 的 n 次方。但若成功與失敗機率不相等，就不能直接把所有完整次序視為等可能。 附帶一提，四個孩子的男孩人數 0、1、2、3、4 對應的次序數分別為 1、4、6、4、1，合計 16 種；對應機率為 1/16、4/16、6/16、4/16、1/16，加總為 1，可用來檢查計算是否正確。 五、指定次序與指定次數的比較 比較項目指定次序指定成功次數 題意關鍵各次結果的位置已確定只限定成功總次數 涵蓋結果一種完整次序所有符合次數的次序 計算方法各次結果的機率相乘組合數乘上每種次序的機率 是否乘組合數不需要額外乘入需要 C(n,k) 典型例子硬幣連投三次「正、反、反」＝1/8四個孩子恰好兩男兩女＝3/8 常考陷阱 看到多次試驗就把機率相加：指定結果要在各次試驗中都成立，是「且」的關係；獨立時應相乘。只有在合併彼此互斥的不同次序時，才將機率相加。 指定次序卻多乘組合數：「正、反、反」只是一種次序；若再乘 C(3,1)，就連「反、正、反」與「反、反、正」也算入，變成恰好一次正面的事件，得到錯誤的 3/8。 只算一種次序就當成全部：兩男兩女不限出生順序，不能只算男男女女的 1/16。必須計入六種符合條件的次序，得到 3/8。 以為男女各半，所以兩男兩女的機率是 1/2：每次出生的性別機率，與整個家庭符合指定人數的機率不同，應依完整出生結果計算。 把五種男孩人數當成等可能：四個孩子的男孩人數可為 0、1、2、3、4，但各人數對應的次序數不同，不能用 1/5 作答。 把 4! 當成兩男兩女的次序數：同類結果不需再區分，應用 4! ÷ (2! × 2!)＝6，避免重複計數。 漏掉失敗的機率：「恰好 k 次成功」同時要求其餘 n－k 次失敗，不能只寫組合數乘成功機率，而漏掉失敗部分。 把敘述事件誤當已知條件：題目問「第一次正面、其餘兩次反面」的機率，是要求完整三次都符合，所有位置都要計算；不能把第一次正面當成已發生，只算後兩次而得 1/4。只有題目明確寫出「已知」某結果時，才改用條件機率。 記憶口訣 「次序指定，逐次相乘；只問次數，組合補齊。」 「先選成功位，再乘成與敗。」先找出成功位置的選法，再乘成功與失敗各自的機率，最後確認所有符合條件的次序都已計入。