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學習重點 以「已知什麼、要求什麼」區分等分除與包含除，不只看「平分、分裝」等字詞。 依實際被分配的量辨識連續量與離散量，避免被瓶數、人數等整數資訊誤導。 解讀算式時，說清楚各數在當下操作中代表的量，區分「份數」與「每輪取出的物件數」，並確認算式中的單位一致。 理解累加、累減、乘法與除法都能表徵除法問題，並依評量目標判斷解題紀錄是否充分。 核心觀念 一、等分除與包含除：關鍵在未知量 除法的基本數量關係是總量＝份數×每份量。總量已知時，若已知份數、要求每份量，就是等分除；若已知每份量、要求份數，就是包含除。兩者都可能使用相同的除法算式，但算式中各數的具體意義不同。 比較項目等分除包含除 已知條件總量、份數總量、每份量 要求的量每份有多少可以分成幾份 理解方式把總量平均分成指定份數看總量中包含幾個指定大小的量 除數的意義份數每份量 商的意義每份量份數 例如把18枝筆平均分給6人，已知總量與人數，要求每人幾枝，屬於等分除；若有18枝筆，每人分6枝，要求可以分給幾人，則屬於包含除。雖然都能列成18÷6＝3，但前者的6表示6人，3表示每人3枝；後者的6表示每人6枝，3表示3人。 「平分」不宜當成唯一判準。判讀時先找出總量，再確認已知的是「分給多少人、裝成多少瓶」，還是「每人多少、每瓶多少」，最後看問句要求的是每份量或份數。 二、連續量與離散量：看實際分配的對象 連續量是透過測量表示大小的量，例如液體的容量、繩子的長度、物體的質量；在數學情境中，可以依需要再細分。離散量則以一個、兩個等方式計數，例如鉛筆枝數、蛋塔個數；以完整物件為單位分配時，呈現一個一個的特性。 判斷情境時，要看被分配的量，不是看到人數或容器數為整數，就認為是離散量。把一桶果汁或可樂平均裝入若干瓶，真正分配的是飲料容量（公升），瓶數只是份數，因此仍是連續量情境；又因為已知瓶數、求每瓶容量，所以是連續量情境的等分除。公升是容量單位，每瓶容量也可能是小數，不必限定為整數公升。 分類情境結構判斷關鍵 連續量的等分除一定容量的飲料，平均裝成指定瓶數，求每瓶容量分的是容量，已知份數 連續量的包含除一定容量的飲料，每瓶裝指定容量，求可裝瓶數分的是容量，已知每份量 離散量的等分除若干枝筆平均分給指定人數，求每人枝數分的是物件個數，已知份數 離散量的包含除若干個點心，每人分指定個數，求可分人數分的是物件個數，已知每份量 這是兩個不同的分類面向：連續或離散看量的性質，等分或包含看已知量與未知量的關係。應分開判斷，再組合成完整類型。 三、等分除的累減操作：份數可以決定每輪取出量 等分除可以採取「每人每次分1枝，逐輪分配」的策略。例如將20枝筆平分給5人，每輪每人各拿1枝，一輪共取出5枝，所以可用20－5＝15記錄第一輪，再繼續減去5，直到分完。共完成4輪，表示每人得到4枝。 這裡情境中的5人是份數；進入每輪分配的減法紀錄後，被減去的5則代表這一輪共取出的5枝筆。兩者數值相同，是因為每人每輪各分1枝，不代表可以直接把不同性質的量相減。 因此，不能只因題目提到的人數與減數相同，就斷定學生在做「枝數減人數」。應先理解操作，再解讀算式。這個減法實際記錄的是「原有枝數－本輪分出的枝數＝剩餘枝數」，被減數、減數、差的單位都是「枝」，量的意義一致；減法次數（輪數）則代表每人得到多少枝。若有人主張「不可以用枝數減人數」，是誤把減數解讀為人數；說明「減數表示這一輪分出的枝數」才是正確解讀。 同一串累減算式在兩種除法中意義不同，須回到情境判讀： 情境累減紀錄減數的意義減的次數代表 12枝平分給4人（等分除）12－4－4－4＝0每輪4人各拿1枝，共取出4枝每人分到的枝數（3枝） 12個，每人分4個（包含除）12－4－4－4＝0每次分給1人的4個可分到的人數（3人） 四、多元表徵與評量：算對還要看有沒有呈現過程 包含除是在問「總量中有幾個每份量」，可以透過不同橫式呈現。以18個點心、每人3個為例，各種紀錄的意義如下。 表徵方式解題意義判讀重點 累加每次增加一份的3個，累積到18個共累積6份，對應6人 累減從18個中，每次拿走一份的3個共能拿走6次，對應6人 乘法嘗試3×1、3×2等，找出幾份合起來是18找到3×6＝18，表示有6份 除法以18÷3＝6濃縮表示總量、每份量與份數的關係列式正確，但是否充分呈現過程，仍須看評量要求 「用橫式記錄解題過程」不等於「只能寫除法橫式」。加法、減法與乘法橫式，只要能清楚對應分組過程及答案意義，都可能展現學生對除法的理解。 當評量目標是「理解除法的意義，並運用橫式記錄解題過程」時，判準特別重視解題歷程：累加呈現逐份累積，累減呈現逐份取走，乘法嘗試呈現份數與總量的關係，這三種都看得出學生怎麼分、為什麼得到答案，適合給分；若僅寫出一個除法橫式與答案（如12÷4＝3），看不出學生是否理解分的過程，可能只是套用算式，因而是不適合給分的那一個。這不表示除法橫式錯誤，也不表示除法橫式在任何評量中都不能給分；必須依教學目標與評分規準判斷。 常考陷阱 「有瓶數，所以是離散量」：瓶數是份數，若分配的是飲料容量（公升），仍屬連續量。先問「到底在分什麼」。 「都是分裝，所以都是包含除」：已知瓶數求每瓶容量，是等分除；已知每瓶容量求瓶數，才是包含除。 「看見平分就直接選等分除」：應確認是否已知份數、要求每份量，不能只靠單一關鍵字。 「減數與人數相同，就是物件數減人數」：若採每人每輪分1個的策略，減數代表一輪取出的物件數，單位與被減數一致，算式合理。 「同一個數在所有算式中都代表同一種量」：情境中的份數，可以決定每輪分出的總數；須說明中間關係，不能只比較數字。 「同樣的累減算式，減的次數意義都一樣」：等分除中次數代表每份量，包含除中次數代表份數，要回到情境判斷。 「加法、減法、乘法都沒有用到除號，所以不能表現除法」：運算符號不是唯一依據，能否呈現等分或分組的數量關係才是重點。 「答案正確、除法算式正確，就一定達成所有評量目標」：結果正確與歷程證據充分是兩回事。目標強調理解除法意義並記錄解題過程時，只寫單一除法橫式反而是不適合給分的選項。 記憶口訣 知份求量是等分，知量求份是包含；連離先看分何物，算式單位看操作。 累加數份、累減數次、乘法找倍；只寫除式看不出過程，評量給分回看目標。