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學習重點 辨別「能用除法解題」與「能引發直式需求」：引入算則時，要看布題能否讓學童覺得原有方法不夠用，需要一套記錄分配、乘回與剩餘量的計算程序。 比較整除與有餘數的布題：整除情境（如 72÷8、81÷9）可直接用九九乘法求答，不容易產生使用直式的需求。有餘數情境（如 70÷8、85÷9）無法由乘法口訣直接得到答案，必須求商、乘回、相減並記錄餘數，才能引發使用直式算則的需求。 掌握商的位值：商的每一位數字都要對準所分配單位的位值。不夠除時，商的相應位要補零，不能只把各次得到的非零數字接在一起。 運用錢幣表徵解釋補零：透過百元、十元、一元的平分與換錢，說明商中間的 0 代表「該位每人分得 0 個單位」。 核心觀念 一、除法直式的引入：先建立使用算則的需求 除法直式教學不能只要求學童背「除、乘、減、拉下來」的步驟，還要讓學童知道為什麼需要這套計算與記錄方法。適當的布題要讓學童發現，只靠乘法口訣直接求答，無法完整解決問題，因此需要更有組織的記錄方式。 若被除數剛好是除數在九九乘法中的倍數，學童可以直接用乘法口訣得到答案。例如知道「八九七十二」，就能求出 72÷8＝9；知道「九九八十一」，就能求出 81÷9＝9。這類情境適合用來理解乘除互逆的關係，但學童用心算或口訣就能解決，不會產生使用除法直式的需求。 有餘數的除法則不同。以 70÷8 為例，70 不在 8 的乘法口訣中，學童無法直接背出答案。要先找出不超過被除數的最大倍數（8×8＝64），再用被除數減去已分出的量（70－64＝6），才能同時回答「每人幾顆」和「剩下幾顆」。85÷9 也一樣：9×9＝81，85－81＝4，所以每人 9 顆，剩 4 顆。這個「估商 → 乘回 → 相減 → 記錄餘數」的過程，正好凸顯直式算則的用途。 布題類型例子學童可能採取的策略是否適合引入直式 九九乘法範圍內的整除72÷8、81÷9直接由乘法口訣求商不適合，用口訣或心算就能解決，缺乏使用直式的需求 九九乘法範圍內的有餘數除法70÷8、85÷9找最大倍數，乘回後相減求餘數適合，無法直接以口訣求答，需要記錄商與餘數 申論作答時，要說明「布題特性如何產生學習需求」。可依下列架構作答： 先寫結論：有餘數的布題才適合，整除的布題不適合。 說明整除布題的問題：被除數恰為除數的乘法口訣結果，學童用九九乘法就能直接得到答案，不覺得需要直式。 說明有餘數布題的優點：答案無法由口訣直接得到，須先估商、乘回、相減求出剩餘量，過程步驟較多，需要直式把商與餘數有條理地記錄下來，因此能引發使用算則的需求。 不能只寫「有餘數比較難」。要寫出「整除可用口訣直接解決；有餘數無法直接解決，需要記錄求商與求餘的過程」這組對比。 二、商的每一位都表示特定單位的數量 在十進位記數法中，同一個數字寫在不同位置，代表的數量不同。例如商的百位寫 2，表示 2 個百；寫在個位，只表示 2 個一。因此除法直式的對位不只是書寫格式，而是所處理單位的對應。 以 805÷4 為例： 百位：8 個百平分成 4 份，每份得到 2 個百，商的百位寫 2，8－8＝0，沒有剩下的百。 十位：把十位的 0 拉下來，0 個十平分成 4 份，每份得到 0 個十，商的十位要寫 0。 個位：把 5 拉下來，5 個一平分成 4 份，每份得到 1 個一，剩下 1 個一。 所以結果是商 201，餘 1。 若漏寫商十位的 0，直接把 2 和 1 接成 21，就把原本的「2 個百」誤寫成「2 個十」，商變成原本的約十分之一。這種錯誤的關鍵不在於不懂餘數或平分，而是沒有掌握商的數字與位值之間的關係，也就是欠缺位值概念。 三、不夠除時，為什麼要在商的相應位寫零？ 商開始記錄後，若處理到某一位時，該位的數量（連同前一位換下來的量）不夠讓每份分到 1 個該位單位，商的這一位就要寫 0。接著把尚未分完的量換成下一位單位，繼續分。例如某一步只有 2 個十要平分給 4 人，每人分不到 1 個十，商的十位寫 0。這 2 個十換成 20 個一，再和原有的個位數量合併處理。 補零不只在被除數出現 0 時才需要。例如 824÷4，十位的 2 個十不夠分給 4 人，商的十位也要寫 0，商為 206。判斷依據是「目前每份能分到幾個該位單位」。 另外要區分兩種情況： 商尚未開始：最高位不夠除時，直接與下一位合併試除，商的最前面不寫 0。例如 245÷5，先看 24 個十。 商已開始：之後某一位分得 0 個單位時，商的該位必須寫 0 佔位。 四、用錢幣表徵建立商與位值的連結 錢幣表徵的教學重點，是把幣值、平分結果與商的位值一一對應。可用 8 張百元鈔和 5 個一元硬幣表示 805 元，平分給 4 人： 分百元：8 張百元鈔平分給 4 人，每人 2 張，沒有剩，表示商的百位是 2。 看十元：沒有十元硬幣，也沒有剩下的百元鈔可以換成十元，所以每人得到 0 個十元，表示商的十位是 0。 分一元：5 個一元平分給 4 人，每人 1 個，剩 1 個，表示商的個位是 1、餘數是 1。 合併每人所得：每人得到 2 張百元、0 個十元、1 個一元，共 201 元，另剩 1 元。 教學時要讓學童說出：「2 代表 2 個百元，0 代表 0 個十元，1 代表 1 個一元。」這樣學童才能理解每人拿到的是 201 元而不是 21 元，也明白 0 為何必須保留，而不只是背「中間要補零」。最後可用除數 × 商 ＋ 餘數 ＝ 被除數驗算：4×201＋1＝805，且餘數 1 小於除數 4。 常考陷阱 「兩個情境都能列除法，所以都適合引入直式。」判斷關鍵是能否引發使用算則的需求。能列出除法算式，不代表學童需要用直式求答，所以選「甲、乙都適合」是錯的。 「整除比較簡單，所以最適合建立直式需求。」整除情境用乘法口訣就能直接求答，反而凸顯不出直式的必要性，所以選「只有整除布題」是錯的。 「有餘數的題目太難，不適合引入。」有餘數的布題正因為無法直接用口訣解決，才需要估商、乘回、相減，最能引發使用直式的需求。 「漏寫商中間的零，主要是缺乏餘數概念或平分概念。」錯誤表現是商的數字跑錯位置（201 寫成 21），應判斷為位值概念不足。餘數概念處理的是分完後剩下的量，平分概念處理的是每份是否一樣多，兩者都不是補零錯誤的主因。 「把分到的數字依序寫下來就好。」每一步所得都有單位，2 個百、0 個十、1 個一必須記成 201，省略十位的 0 會改變數值。 「用錢幣教學，只要算出每人拿到多少錢即可。」申論必須交代百元、十元、一元各分得多少，特別是十元「每人 0 個」，並連結到商的百位、十位、個位，才能說明商是 201。 「只有被除數有 0 時商才要補 0。」是否補 0 要看該位每份能分到幾個單位。被除數該位不是 0 但不夠分時，同樣要補 0。 記憶口訣 「整除背口訣，餘數才要直式；引入看需求，有餘才有用。」 「百元對百位，十元對十位，一元對個位；該位分得零，零要留位置。」 「除數乘商加餘數，驗回原數才正確。」