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學習重點 掌握 Z 分數與 T 分數的平均數、標準差及轉換公式，能判斷個人成績距離平均數幾個標準差。 理解百分等級（PR 值）表示個人在特定參照團體中的相對位置，並與答對百分比、原始分數、名次區分。 辨認 Z、T 分數屬於線性轉換、具等距性；PR 值屬於順序性質的位置量數，不具等距性。這是判斷能否用平均數解釋團體表現的關鍵。 在常態分配的條件下，連結 Z、T 與 PR，並分清楚「個人的位置」與「班級的平均表現」。 作答「何者最不適切」的題型時，逐一檢查每個選項的解釋是否成立，找出推論錯誤的那一項。 核心觀念 一、先確認比較的參照團體 原始分數是測驗直接得到的成績；標準分數則將原始分數放回參照團體中，說明個人的相對表現。若測驗以全縣學生為常模，Z、T 與 PR 都應依全縣學生的分布解讀，不能任意改成班內排名。 原始總分為 0～100 分，不代表平均數必然是 50 分，也不代表標準差是 10 分。T 分數的平均數為 50、標準差為 10，是轉換後量尺的設定，與原始測驗滿分多少無關。 二、Z 分數：距離平均數幾個標準差 Z＝（個人原始分數－參照團體平均數）÷參照團體標準差。轉換後的 Z 分數平均數為 0，標準差為 1。Z 為正，表示高於平均數；Z 為負，表示低於平均數；Z＝0，表示恰好等於平均數。 Z＝1：原始成績高於參照團體平均數 1 個標準差。 Z＝－1：原始成績低於參照團體平均數 1 個標準差。 Z＝2：原始成績高於參照團體平均數 2 個標準差。 Z 分數可以是負數或小數，不代表原始成績為負，也不表示答錯題數。它的單位是「標準差」，不是原始分數的「分」。 三、T 分數：將 Z 分數改換量尺 T＝50＋10Z；反向換算為 Z＝（T－50）÷10。T 分數平均數為 50，標準差為 10。因此，T＝60 對應 Z＝1；T＝40 對應 Z＝－1；T＝50 對應 Z＝0。 Z 與 T 都是原始分數的正向線性轉換，會保留成績的高低順序及分數間距的比例。例如，T 分數相差 10，便相差 1 個標準差。單純進行 Z 或 T 轉換，不會把偏態分配自動變成常態分配。 四、PR 值：有多少比例的人位於其下 百分等級表示個人在參照團體中的相對位置。依一般考題的解釋方式，PR＝55，表示其表現高於參照團體約 55% 的學生，其餘約 45% 的學生表現較高。實際資料若有同分，精確計算須依所採的同分處理方式；概念題主要掌握相對位置即可。 PR 值不是原始分數，也不是答對率。PR＝55 不表示得到 55 分、答對 55% 的題目，或排名前 55%（實際約在前 45%）。PR 越大，代表在該參照團體中的相對表現越好。 PR＝50 對應參照團體的中位數位置；只有在常態分配等平均數與中位數相同的情況下，才能同時將此位置連結到平均數。 五、常態分配下的 Z、T 與 PR 對照 Z 與 T 可以直接利用公式互換；要由 Z 推得 PR，則須知道分配形態。在常態分配下，PR 約等於該 Z 值左側的累積面積乘以 100，常用對照如下： Z 分數T 分數PR 約值位置解釋 －2302.3低於平均數 2 個標準差 －14015.9低於平均數 1 個標準差 05050位於平均數與中位數 16084.1高於平均數 1 個標準差 27097.7高於平均數 2 個標準差 因此，T＝60 的位置約為 PR＝84，而非 PR＝60。PR＝55 則只比中位數稍高，不是高於平均數 55 分，也不是高出 0.55 個標準差。 六、為何平均 T 可以解釋，平均 PR 卻不能直接解釋？ Z 與 T 保有等距性，PR 主要提供順序與位置資訊，不具等距性。在常態分配中央，人數密集，原始分數稍微變動就可能跨過較多人，PR 變化大；在兩端，人數稀少，相同的原始分數差距所跨過的人數較少，PR 變化小。因此，相同的 PR 差距，不代表相同的原始分數差距。 比較項目Z 分數、T 分數百分等級（PR） 轉換性質線性轉換非線性轉換 是否等距是，可做加減與平均否，屬順序性質的位置量數 班級平均值的意義等於班級原始平均分數轉換後的值，可解釋不等於班級原始平均分數的 PR，不宜直接解釋 由於 T 是線性轉換，若全班均使用同一套全縣常模，則「全班 T 分數的平均數」等於「全班原始平均分數轉換得到的 T 分數」。所以，班級平均 T＝50，表示班級原始平均分數等於全縣原始平均分數。這不代表班上每個人都得到 T＝50，也不代表班級與全縣的分數分布完全相同。 PR 則不具有上述性質。班級平均 PR，不等於班級原始平均分數所對應的 PR。即使平均 PR＝40，也不能直接推論該班整體表現（原始平均成績）低於全縣中位數，更不能推論全班每個人的表現都低於中位數。 解題時，要區分「某位學生 PR＝40」與「某班平均 PR＝40」：前者可以解釋該生位於參照團體中位數以下；後者是把多個非等距的位置數值取平均，不能直接視為全班原始平均成績的百分等級。PR 在數學上可以算出平均，但不能因此賦予它等距分數平均數的意義；要描述團體平均表現，應改用 Z 或 T 等標準分數。 常考陷阱 「T＝60，表示原始成績是 60 分」：錯。T 是轉換分數；須知道原始平均數與標準差，才能反推原始成績。 「T＝60，表示 Z＝1」：正確。代入 Z＝（60－50）÷10 即可，不必知道原始分數。 「PR＝55，表示高過參照團體 55% 學生的表現」：正確，這是 PR 的標準解釋。 「PR＝55，表示答對率為 55%」或「排名前 55%」：錯。PR 說明與其他人的相對位置，答對率說明答對題目所占比例；PR＝55 約在前 45%。 「PR 相差 10，代表能力或原始分數相差固定數量」：錯。百分等級不等距，不能如此推算差距。 「班級平均 PR＝40，表示該班整體表現低於全縣中間值」：不適切。PR 不具等距性，先平均 PR 與先平均原始分數再查 PR，結果不能直接畫上等號；這是此類題型最常被設計成「最不適切」的選項。 「班級平均 T＝50，表示該班整體表現相當於全縣平均」：在使用同一套全縣常模時正確，理由是 T 為線性轉換。 「平均 T＝50，所以每位學生都在平均位置」：錯。平均數只描述團體集中情形，不能取代個別學生的成績。 「PR＝50 永遠等於平均數」：錯。它對應中位數位置；題幹提供常態分配，才可連結平均數與中位數。 記憶口訣 「Z 零一、T 五十十；T 減五十，再除十。」記住兩種量尺的平均數、標準差與反向換算。 「PR 看位置，差距不等距；平均 T 可換算，平均 PR 莫直推。」看到團體平均數的解釋，先檢查分數是否為線性轉換。