105年 - 105 國立臺北大學_日間學士班曁進修學士班轉學生招生考試試題_金融與合作經營學日間學士班2年級：統計學#147586

一、某減重課程宣稱其可以在一個月內幫助學員減重5公斤以上。以參加課前體重減去參加後體重，衡量該課程的減重效果。現隨機抽樣10位學員，記錄其參加課程前後之體重，其資料如下表。若體重呈常態分配，試問該課程是否有達成其宣稱「減重5公斤以上」之效果？(設定顯著水準α=0.05)(15分)

二、某貿易商與電視製造商簽定合約，要求其生產的50吋電視，規格誤差之變異數不可超過0.05(吋²)，若不符合標準，貿易商將予以退貨。現該貿易商隨機抽樣15台電視，測量其尺寸，資料如下：{50.5, 49.8, 50.1, 50.3, 49.8, 49.9, 49.7, 50.4, 49.5, 49.9, 50, 50.1, 50.2, 50.1, 49.8}。假設生產誤差服從N(0, σ²)，請在顯著水準α=0.05之下，計算誤差變異數σ²之區間估計；依據區間估計之結果，貿易商是否可提出退貨要求？(15分)

三、假設有一特製硬幣，不知其出現正面的機率p為何？今丟硬幣n次，得一隨機樣本X₁, X₂, ..., Xₙ。若丟出正面Xᵢ=1否則Xᵢ=0，其中i=1, 2, ..., n，試求p的最大概似估計量。(請寫出推導過程，否則不予計分)(10分)

四、過去研究發現：新生兒不足者比率佔10%，體重正常者佔90%。某研究者想了解孕婦的不良習慣(如抽煙、喝酒等)和新生兒體重的關係。其隨機調查100位體重不足的新生兒之母親，發現其中有50位有不良習慣，其同樣隨機調查100位體重正常的新生兒之母親，發現其中有5位具不良習慣。現有一位孕婦，有不良習慣，其小孩出生時體重不足的機率有多大？(10分)

五、假設某一櫃台對服務對象每一次所花費的時間為平均數90秒，標準差10秒的常態分配，某甲之前有3人等待，假設T為此3個人使用櫃台服務之總時間。某甲希望這3個人使用之總時間能少於4分鐘，請計算此一機率為何？(10分)

(一) \( E(X_{1}X_{2}) \) (5分)

(二) \( E(X_{2}^{2}) \) (5分)

(三) \( VAR(X_{1} + X_{2}) \) (6分)

七、市政府想調查贊成或反對某一政策的比例。在95%的信心水準之下，若該調查希望誤差不大於2%，需要多少樣本？(8分)

(一)某天至多只發生一次車禍的機率。(8分)

(二)某天至少發生三次車禍的機率。(8分)