109年 - 109 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#144268

1. 求 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \left( 1 + \frac{t^2}{4} - \sqrt[4]{1+t^2} \right) dt}{x^5} \]= __________。

2. 假設對所有的 \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x)<0\) 且 \(f(2)=7\), \(f'(2)=-3\), \(f'(7)=-4\)。令 \(g\) 為 \(f\) 之反函數。求 \(g'(7)=\) ______。

3. 設 \(\int_{1}^{e} 18x^2 \ln(x) dx = a + be^3\)，其中 \(a\) 與 \(b\) 為整數，則 \(a+b=\) ______ 。

4. 設 \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2(x) dx = p+q\pi\)，其中 \(p\) 與 \(q\) 為有理數，則 \(p+q=\) ______ 。

5. 設函數 \( f(x) = \int_{0}^{x} \arctan(e^{3t}) dt \)。求二次導數 \( f''(0) = \underline{\hspace{1cm}} \)。

6. 求. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - x - 2} \) = _________ 。

7. 求 \(\int_{0}^{2} |2x-1| dx =\) ___________。

8. 已知 \( x^3 - 3x^2y + 2xy^2 = 12 \)，求 \(\frac{dy}{dx} = \) ______

9. 求 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x+y}{x^2+y} = \underline{\hspace{3cm}}\)

10. 求 \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \underline{\hspace{3cm}}\)

二、計算題：
(每題 10 分，共 40 分；請寫計算過程)
1. Given \( x^2 + y^2 = 36 \), find \( \frac{d^2 y}{dx^2} \)?

2. 請判斷級數 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\) 是否收斂，並說明你的理由。

3. 設 \( w = f\left(ts, \frac{s}{t^2}\right) \), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = x^2y\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = y^2\)。求偏導數 \(\frac{\partial w}{\partial s}\) 與 \(\frac{\partial w}{\partial t}\) 在點 \((s,t) = (-1,1)\) 的值。

4. 求重積分 $\iint_D e^{-x^2-y^2} dA$ 的值, 其中圓盤 $D = \{(x,y) | x^2+y^2 \le 4\}$。