115年 - 115 國立嘉義大學_碩士班(甲組)招生考試試題_應用數學系：微積分#143923

一、\[ \lim_{x\to 1} \sqrt{x^2+5x-1} - \sqrt{x^2-4x+8} \] =?

二、 Let \( y = \sin(x^2 + \sqrt{x^2 + 1}) \). Then \( y' = ? \)

三、Let \( y = (x^2 + 1) \tan^{-1} e^{x+1} \). Then \( y' = ? \)

四、 Suppose \(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 1000 + xy\). Then \(y' = ?\)

五、 Find the extreme values of \(f(x, y) = 4x + 3y\) subject to \(x^2 + y^2 = 2\).

六、 Evaluate \(\int_{-\infty}^{\infty} 2xe^{-3x^2} dx\) if it converges, or states that it diverges.

七、 Find \(\int_0^3 \frac{\lfloor x \rfloor}{x} dx\), where \(\lfloor x \rfloor\) is the greatest integer function.

八、 \(\int \frac{2(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} dx = ?\)

九、 \(\int x^5(x^2+1)^{30} dx=?\)

十、$\int \frac{\log_{3}x}{x} dx=?$