115年 - 115 中央警察大學_碩士班入學考試試題_海洋科技組：微積分#139855

科目：研究所、轉學考(插大)-微積分 | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：14

試卷資訊

所屬科目：研究所、轉學考(插大)-微積分

選擇題 (0)

申論題 (14)

一、試使用變換變數法(integration by substitution)求下列積分：

(一) $\int \frac{x}{\cos(x^2)} dx$
(二) $\int \frac{3}{\sqrt{5 - 9x}} dx$
(三) $\int \sin^2 3x \cos 3x dx$
二、依題意作答，請詳列計算過程。

(一)計算下列各題

1. $\frac{d}{dx} (x^5 - 4x^3 + 2x)$(5 分)
2. $\frac{d}{dx} (e^{3x} \cdot \ln x)$(5 分)
(二)某漁船因機械故障在海上漂流，其位置與時間的關係為：

$$
s(t) = 8t^2 - t^3, \ t \geq 0
$$

其中 $s$ 為距離出發點之距離(公里)， $t$ 為時間(小時)。

1. 求漁船在 $t = 2$ 小時時的瞬時速度。(5 分)
2. 求漁船的加速度函數，並判斷在 $t = 3$ 小時時，漁船是加速或減速？(5 分)
3. 漁船何時停止前進？(5 分)
三、試求下列三角函數積分：

(一) $\int \sin 3x \sin 2x \, dx$
(二) $\int \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\cos x}} \, dx$
(三) $\int \tan^4 x \, dx$
四、依題意作答，請詳列計算過程。

(一) 計算下列各題

1. $\int_0^2 (x^3 + 2x) \, dx$ (5 分)
2. $\int \frac{2}{x} \, dx, \quad x > 0$ (5 分)
(二) 某海洋污染物濃度隨深度 $z$ (公尺)變化為：

$$
C(z) = 120 e^{-0.25z}
$$

求從海面 $(z = 0)$ 到深度 $z = 4$ 公尺之間，污染物的平均濃度。(15 分)

※計算時可使用此近似值：$e^{-1} \approx 0.3679$

微積分 2