90年 - 90 二技統測_光電類_專業科目(二)：微積分及物理#145238

1. 求曲線 $y = \sqrt{x}$ 經過點 (1, 1) 處的切線方程式。 (A) y = x + 1 (B) y = -2(x + 1) (C) $y = \frac{1}{2}(x + 1)$ (D) $y = -\frac{1}{2}(x + 1)$

2. 試求通過點 (-1, 4) 且與直線：3x + 4y = 2 垂直的直線方程式。 (A) $y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$ (B) $y = -\frac{3}{4}x + \frac{13}{4}$ (C) $y = -\frac{3}{4}x + 2$ (D) $y = \frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

3. 設 f(x) = x - 4，$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 16}{x + 4}, & x \neq -4 \\ k, & x = -4 \end{cases}$。對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，若要求 f(x) = g(x)，則 k 值應為何？ (A) 0 (B) -4 (C) 4 (D) -8

4. 函數 $f(x) = \sqrt{5 - 4x - x^2}$ 的定義域 (domain) 為何？ (A) [-5, 1] (B) [-3, 3] (C) [0, 3] (D) [-1, 5]

5. 令 f(x) 為可微分函數，若對任兩實數 a、b 而言，$f(a + b) - f(a) = ab + a^2b + a^3b^2$ 恆成立，求 f'(2) = ? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

6. 求極限值 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3}}{x} = ?$ (A) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ (D) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

7. 求極限值 $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\ln|\cos x|}{\tan x} = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2

8. 令 $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + a, & x < 0 \\ 4x - b, & 0 \leq x \leq 1 \\ \sqrt{x + 8}, & x > 1 \end{cases}$；若 f(x) 為到處連續的函數，則 a、b 值應為何？ (A) a = -1, b = 1 (B) a = 1, b = -1 (C) a = -1, b = 2 (D) a = 1, b = -2

9. 令 $f(x) = \begin{cases} 2x^5 + 4\alpha, & x \leq 1 \\ \beta x^2 - 7, & x > 1 \end{cases}$；若 f(x) 為到處可微分的函數，則 $\alpha$、$\beta$ 值應為何？ (A) $\alpha = 1, \beta = 13$ (B) $\alpha = -1, \beta = 5$ (C) $\alpha = -2, \beta = 1$ (D) $\alpha = 2, \beta = 17$

10. 若 f(x) = x|x|，則下列敘述何者為正確？ (A) f(x) 除了在 x = 0 不可微分外，對於其他 $x \in \mathbf{R}$ 皆為可微分 (B) f(x) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$ 皆為可微分 (C) f(x) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$ 皆不可微分 (D) f(x)除了在 x = 0 不連續外，在其他 $x \in \mathbf{R}$ 皆為連續

11. 若 $y = \sqrt{6 - \sqrt{x}}$，則 $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=4} = ?$ (A) $-\frac{1}{16}$ (B) $-\frac{1}{8}$ (C) $\frac{1}{8}$ (D) $-\frac{1}{4}$

12. 令 $y = \ln(x + e^x)$，求 $\frac{dy}{dx} = ?$ (A) $\frac{1}{x + e^x}$ (B) $1 + e^x$ (C) $\frac{1 + e^x}{x + e^x}$ (D) $\frac{1}{1 + e^x}$

13. 令函數 $f : [a, b] \to \mathbf{R}$，下列敘述何者為正確？ (A) 若 $\zeta \in (a, b)$，$f'(\zeta) = 0$，則 $f$ 在 $x = \zeta$ 有相對極大或相對極小值 (B) 若 $\zeta \in (a, b)$，$f'(\zeta) = 0$ 且 $f''(\zeta) = 0$，則 $(\zeta, f(\zeta))$ 為反曲點 (C) 若 $\zeta \in (a, b)$，$f'(\zeta) = 0$；$f''(\zeta)$ 存在且 $f''(\zeta) > 0$，則 f 在 $x = \zeta$ 有相對極大值 (D) 若 f在閉區間 [a, b] 上連續，則必存在有最大值與最小值

14. 令 $f(x) = \frac{\eta x}{1 + \eta^2 x^2}$ ($\eta > 0$)，則 f(x) 的(絕對)最小值 m 與(絕對)最大值 M 分別是： (A) $-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ (B) -1, 1 (C) $-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}$ (D) -2, 2

15. 若 $y = x^{\frac{3}{2}}$，當 x 由 4 增加至 4.001 時，y值的改變量接近下列何值？ (A) 0.1 (B) 0.02 (C) 0.045 (D) 0.001

16. 若函數 $f(x) = x - \frac{\alpha}{x}$ 在 x = -2 有相對極大值，則 $\alpha = ?$ (A) 2 (B) 4 (C) -2(D) -4

17. 求函數 $f(x) = \sin x - \cos x$ 在 $[0, \pi]$ 區間中的絕對極大值 (absolute maximum)。 (A) $\sqrt{2}$ (B) 2 (C) 1 (D) 0

18. 關於函數 $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$ 圖形的漸近線，下列敘述何者為正確？ (A) x = 3 為其垂直漸近線 (B) y = 0 為其水平漸近線 (C) y = -3 為其水平漸近線 (D) y = x - 3 為其斜漸近線

19. 求曲線 $y = x^2$ 與直線 y = 1 所圍成區域的面積？ (A) $\frac{2}{3}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{4}{3}$ (D) $\frac{3}{4}$

20. 求無窮級數和：$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{2}\right)^n = ?$ (A) 2 (B) $\frac{3}{2}$ (C) 3 (D) $\frac{2}{3}$

21. 求極限值 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = ?$ (A) 0 (B) 2 (C) -1 (D) 1

22. 求不定積分 $\int \frac{1}{x \ln x} dx = ?$ (A) $(\ln|x|)^2 + C$ (B) $\ln|\ln x| + C$ (C) $\ln|\frac{1}{\ln x}| + C$ (D) $\ln|\frac{1}{x}| + C$

23. 求定積分 $\int_0^1 \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = ?$ (A) $2(e^2 - e)$ (B) e(2 - e) (C) $e^2(1 - \ln 2)$ (D) $2(e - \ln 2)$

24. 設 p > 1，利用分部積分法，求瑕積分 $\int_0^\infty \frac{\ln x}{x^p} dx = ?$ (A) $\frac{1}{p-1}$ (B) $\frac{1}{1-p}$ (C) $\frac{1}{(1-p)^2}$ (D) 瑕積分發散 (divergent)

25. 關於連續函數 $f, g : [a, b] \to \mathbf{R}$，下列敘述何者為錯誤？ (A) $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$ (B) 若 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$，則 $f(x) \geq 0$，$x \in [a, b]$ (C) 對於所有的 $x \in [a, b]$，若 $f(x) \geq g(x)$，則 $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx \geq 0$ (D) 對於所有的 $x \in [a, b]$，若 $f(x) \geq 0$ 且 $\int_a^b f(x) dx = 0$，則 f(x) = 0，$x \in [a, b]$

26. 截面積為 A 的 U 型管內裝有密度為 P 的油，一圓柱型固體剛好放入右側管內，假設摩擦力為零，當達到平衡時，圓柱體的位置如圖(一) 所示，則圓柱體的重量為 (g 為重力常數)：
(A) AP(L+h)g (B) AP(L-h)g (C) L³Pg (D) ALPg

27. 下列那一項敘述滿足非彈性碰撞： (A) 動量不守恒但動能守恒 (B) 動量守恒但動能不守恒 (C) 總質量不守恒但動量守恒 (D) 動能和動量都不守恒

28. 一物體 A 質量為 4 公斤靜止不動，另一物體 B 質量為 8 公斤，以 3 公尺/秒 移動，則 A 與 B 的質量中心的速率為多少？ (A) 0 公尺/秒 (B) 1.5 公尺/秒 (C) 2 公尺/秒 (D) 3 公尺/秒

29. 兩氣體以一傳熱的牆壁隔開，彼此達到熱平衡則： (A) 兩邊壓力必相等 (B) 兩邊的溫度必相等 (C) 兩邊體積必相等 (D) 兩邊的粒子數必相等

30. 如果將單擺長度加倍，則單擺的週期為原有的： (A) 一半 (B) 兩倍 (C) $\sqrt{2}$ 倍 (D) 不變

31. 兩個電容器分別具備電容量為 $2\mu\text{F}$ 及 $1\mu\text{F}$ 與一電池串聯，分別儲有能量 P 及 Q，如將此兩個電容器分離且分別用相同的電池充電，得到儲存的能量分別為 R 及 S，則： (A) R>P>S>Q (B) P>Q>R>S (C) P>R>S>Q (D) R>S>Q>P

32. 如圖(二)所示，R 與 T 分別到兩個正電核之距離都是 d，如果 $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_n}$ ($=8.99\times10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$)，則將一測試電荷 q 從 R 移到 T 需作多少功：
(A) 零 (B) $kQq/d^2$ (C) kQq/d (D) $kQq/(\sqrt{2}\text{ d})$

33. 若將正 10 庫倫的電荷放置於一導體球殼上，另外將負 3 庫倫的點電荷置於球殼的中心，則球內層表面帶多少庫倫的電荷？ (A) 負 7 (B) 負 3 (C) 正 3 (D) 正 7

34. 兩平行導線各帶 10 安培的電流互相以 1 牛頓的力吸引，如果將兩導線電流都加倍，則引力為： (A) 1 牛頓 (B) 4 牛頓 (C) 0.5 牛頓 (D) 0.25 牛頓

35. 在什麼情形下，作用於一帶電粒子上的磁力方向會與粒子的速度平行： (A) 粒子移動進入磁場 (B) 粒子移動垂直磁場 (C) 粒子移動偏離磁場 (D) 不可能發生

36. 如圖(三)所示，當 S 打開時，安培計讀數為 2 安培，當 S 閉合時，安培計之讀數為：
(A) 略增 (B) 不變 (C) 略減 (D) 無法計算

37. 將一個 60 瓦 120 伏特之電燈從早上 8 點整打開到下午 1 點整，則有多少庫倫的電量流過？ (A) 150 (B) 3600 (C) 7200 (D) 9000

38. 圖(四) (i) 及 (ii) 均為雙狹縫干涉圖像，考慮以下 4 種變化：
(1) 減少光源頻率 (2) 增加光源頻率 (3) 增加狹縫間距離 (4) 減少狹縫間距離 上述那些變化可將圖(四) (i) 的干涉圖像改為圖(四) (ii) 的干涉圖像
(A) 只有(1) (B) 只有(4) (C) 只有(2) 和(3) (D) 只有(1) 和(4)

39. 一個 3 公分高的物體置於薄透鏡前，物距為正 4 公分，而像距為負 8 公分，則像高為幾公分？ (A) 6 (B) 1.5 (C) 1 (D) 0.5

40. 光束 A 的頻率為光束 B 的兩倍，則其光子能量比 $E_A/E_B$ 為： (A) 2 (B) 1 (C) 1/2 (D) 1/4

41. 以下那一項敘述為正確： (A) 紫外光的波長較紅外光為長 (B) 藍光的頻率較 X 光為高 (C) 無線電波的頻率比微波高 (D) 紅外光的頻率比微波高

42. 如圖(五)左圖所示電場平行分佈於一圓柱體內，其電場的大小隨時間的變化如圖(五)右圖所示。如此在圓柱邊緣所生感應磁場的大小從小到大依序為：
(A) 4, 3, 1, 2 (B) 2, 1, 3, 4 (C) 2, 4, 3, 1 (D) 4, 3, 2, 1

43. 一安培計之內電阻為 $1\Omega$，其可量測的範圍為 0 到 50 毫安培，如果要範圍改為 0 到 5 安培，則可： (A) 串聯一個 $99\Omega$ 電阻 (B) 並聯一個 $\frac{1}{99}\Omega$ 電阻 (C) 串聯一個極大電阻(如 $10^6\Omega$) (D) 並聯一個 $99\Omega$ 電阻

44. 一個汽車電池標示 $80\text{A}\cdot\text{h}$(安培小時)，其中 $\text{A}\cdot\text{h}$ 是什麼單位： (A) 功率 (B) 能量 (C) 電量 (D) 電流

45. 有 n 莫耳的理想單原子氣體，將其溫度上升 $\Delta T$ 並保持體積不變，R 為氣體常數，則吸收的熱(Q)，內能變化($\Delta U$)，及環境對氣體作的功($\Delta W$)，應分別為： (A) $Q=(\frac{5}{2})nR\Delta T$，$\Delta U=0$，$\Delta W=0$ (B) $Q=(\frac{3}{2})nR\Delta T$，$\Delta U=(\frac{3}{2})nR\Delta T$，$\Delta W=0$ (C) $Q=(\frac{3}{2})nR\Delta T$，$\Delta U=(\frac{1}{2})nR\Delta T$，$\Delta W=-nR\Delta T$ (D) $Q=(\frac{5}{2})nR\Delta T$，$\Delta U=(\frac{3}{2})nR\Delta T$，$\Delta W=-nR\Delta T$

46. 一根鋼琴線的弦長為 81 公分，質量為 2 公克，如果它的基本頻率為 394 赫茲(Hz)，則施於此弦的張力應為： (A) 650 牛頓 (B) 831 牛頓 (C) 990 牛頓 (D) 大於 1000 牛頓

47. 一個波的方程式可表為 $y(x, t)=0.1 \sin(3x+10t)$，其中 x 與 y的單位分別為公尺及公分而 t 的單位為秒，則波長為多少： (A) $6\pi$ 公尺 (B) $3\pi$ 公尺 (C) $\frac{2\pi}{3}$ 公尺 (D) $\frac{\pi}{3}$ 公尺

48. 一個物體作簡諧運動其週期為 T，在時間 t 為零時，它位於平衡點與一端點 A 的正中間並準備向此一端點 A 移動，在何時此物體會再次回到同樣的位置： (A) t=T (B) t=T/2 (C) t=T/4 (D) t=T/8

49. 不可壓縮的液體流經水管如圖(六) 所示，則速率 $V_2/V_1$ 的比為：
(A) $A_1/A_2$ (B) $A_2/A_1$ (C) $\sqrt{A_1/A_2}$ (D) $\sqrt{A_2/A_1}$

50. 若將螺線管的圈數及通過的電流都改為原有的 2 倍，則螺線管內磁場的能量將變為原來的幾倍？ (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16