31. 設 $a$ 為實數，$f(x) = x^4 + 2x^3 + ax^2 + 2x + 1 = 0$ 至少有一實根，求 $a$ 之最大值為何？

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 0

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32. 銳角三角形 $ABC$ 中，若 $\tan A$，$\tan B$，$\tan C$ 成等差，則 $\tan A \tan C$ 的值為何？ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) $\frac{1}{3}$

33. 已知 $y = \sin x$（$0 \leq x \leq \pi$）與 $x$ 軸所圍成的面積為 2，則 $y = |\sin x|$ 與 $y = \frac{2}{\pi} |x|$ 所圍成的區域面積為何？ (A) $1 + \frac{\pi}{8}$ (B) $1 - \frac{\pi}{4}$ (C) $2 - \frac{\pi}{8}$ (D) $2 - \frac{\pi}{2}$

34. 空間中一向量 $\overrightarrow{AB}$ 在 $xy$ 平面的投影長為 7，在 $yz$ 平面的投影長為 24，求 $|\overrightarrow{AB}|$ 的最大與最小值的和？ (A) 48 (B) 49 (C) 50 (D) 51

35. 指數函數 $f(x) = a^{x}$，其中 $a > 0$，$a \neq 1$，$x$ 為實數，則下列選項何者正確？ (A) $f(x)$ 的圖形必通過定點 $(1,0)$ (B) $f(x)$ 的圖形與任一平行 $x$ 軸的直線都恰有一交點 (C) 若 $x_{2} > x_{1}$，則 $f(x_{2}) > f(x_{1})$ (D) 若 $x_{1} \neq x_{2}$，則 $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} > f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right)$

36. 若函數 f(x) = \sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x + 2，則下列選項何者錯誤？ (A) 0 \leq f(x) \leq 4 (B) f(x) 在 x = \frac{2\pi}{9} 時有最大值 (C) f(x) 的週期為 \frac{\pi}{3} (D) f(x) 的圖形對稱於直線 x = \frac{5\pi}{9}

37. 如圖，$\triangle ABC$ 是腰長為 6 的等腰直角三角形，$^1P$ 是其內部一點，過 $P$ 作三條分別平行三邊的直線，得出三個腰長分別為 $x$，$y$，$z$ 的等腰直角三角形，則 $\triangle PDE$、$\triangle PFG$、$\triangle PHI$ 面積和的最小值為何？ (A) 12 (B) 6 (C) 10 (D) 14 ![img-0.jpeg](img-0.jpeg)

38. 已知空間中，直線 $L_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{6}$ 與 $L_{2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2s\\ y = -1 - s\\ z = 2s \end{array} \right.$ （$s$ 為任意實數）共平面，則 $L_{1}$、$L_{2}$ 的交角平分線方程式有兩條，設其中一條為 $T:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\ y = -1 + t\\ z = b + ct \end{array} \right.$，$t$ 為任意實數，其中 $a$、$c$ 同號，試問 $a + b + c$ 之值為何？ (A) 20 (B) 22 (C) 24 (D) 26

39. 在空間坐標系中有一直線 $L: \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y + z = 1 \end{array} \right.$ 及球面 $S: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$，現以 $z$ 軸為中心軸，將直線 $L$ 繞 $z$ 軸旋轉一圈後，直線與球面交出兩圓，則此兩交圓面積中，小圓面積：大圓面積的比為何？ (A) $5:12$ (B) $3:8$ (C) $4:9$ (D) $9:16$

40. 已知方程組 $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + z = a \\ x - 9y + 5z = b \\ 2x + 3y - 2z = c \end{array} \right.$，則下列哪個選項之 $a$，$b$，$c$ 可使得該方程組有解？ (A) $a = 1, b = 2, c = 3$ (B) $a = 4, b = 5, c = 6$ (C) $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}$ (D) $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$

41. 設 $f(x)$ 是奇函數，$g(x)$ 是偶函數，$f'(3) = g'(3) = 4$，選出正確的敘述。 (A) $f'(-3) = g'(-3) = 4$ (B) $f'(-3) = g'(-3) = -4$ (C) $f'(-3) = 4, g'(-3) = -4$ (D) $f'(-3) = -4, g'(-3) = 4$

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