115年 - 115 臺南市立蓮潭國民中小學(國中部)教師甄選試題：數學科#140306

1. 設直線 L: ax + by = c，若 ac > 0 且 ab < 0 ，則此直線 L 不過第幾象限？ (A) 一 (B) 二 (C) 三 (D) 四

2. 設 a, b 為實數，且不等式 |ax + 5| > b 的解為 x < -1 或 x > 6 ，求 a + b = ? (A) -9 (B) -5 (C) 5 (D) 9

3. 一袋中有 10 元硬幣 2 枚，5 元硬幣 3 枚，1 元硬幣 5 枚，今自袋中取出兩枚 (設每個硬幣被取出之機會相等)，則其取出金額的期望值為何？ (A) 2 元 (B) 4 元 (C) 6 元 (D) 8 元

4. 已知某一組統計數據 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的算術平均數 $\mu_{x} = 10$ 、標準差 $\sigma_{x} = 3$ 、中位數 $Me_{x} = 12$ 、眾數 $Mo_{x} = 8$ ，若每一個數據經由 $y = -4x + 3$ 轉換，則對轉換後的數據 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 而言，下列何者正確？

(A) 算術平均數 $\mu_{y} = 43$
(B) 標準差 $\sigma_{y} = -12$
(C) 中位數 $Me_{x} = -45$
(D) 眾數 $Mo_{y} = -32$

5. 設矩陣 $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ 、 $B = \begin{bmatrix} 2a_1 & 3c_1 & 4a_1 + b_1 \\ 2a_2 & 3c_2 & 4a_2 + b_2 \\ 2a_3 & 3c_3 & 4a_3 + b_3 \end{bmatrix}$ 且 $\operatorname{det}(A) = 6$ ，則

$\operatorname{det}(B) = ?$

(A) 36
(B) -36
(C) -144
(D) -1296

6. 設 $k$ 為正整數，則介於 $\frac{1}{8}$ 與 $\frac{1}{7}$ 之間的有理數中，形如 $\frac{k}{280}$ 之最簡分數共有幾個？

(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6

7. 設 $a, b, c$ 皆為實數，則下列選項中的敘述，何者正確？

(A) 若數線上兩點 $P$ 和 $Q$ 分別在 $a$ 和 $-b$ 處，則線段 $\overrightarrow{PQ}$ 的長度為 $a + b$
(B) 若 $a > b$ 且 $ab > 0$ ，則 $|a| > |b|$
(C) 若 $a \neq 0$ ，則不等式 $a \mid x + 1 \mid > 1$ 的群為 $x > \frac{1}{a} - 1$ 或 $x < -\frac{1}{a} - 1$
(D) $|a - c| + |b - c| \geq |a - b|$

8. 有三個數 $a = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 、 $b = 2 + \sqrt{7}$ 、 $c = \sqrt{5} + \sqrt{6}$ ，則此三數的大小順序為何？

(A) $a > b > c$
(B) $a < b < c$
(C) $b > a > c$
(D) $a < c < b$

9. 去撕兩粒均勻的骰子，已知骰子出現不同的點數，則至少有一粒骰子出現6點的條件機率為何？

(A) $\frac{5}{36}$
(B) $\frac{5}{18}$
(C) $\frac{1}{6}$
(D) $\frac{1}{3}$

10. 設 $A$ 事件發生的機率為 $\frac{2}{3}$、$B$ 事件發生的機率為 $\frac{1}{4}$，令以 $p$ 表示 $A$ 事件或 $B$ 事件發生的機率，則 $p$ 的範圍為何？

(A) $\frac{1}{4} \leq p \leq \frac{2}{3}$
(B) $\frac{2}{3} \leq p \leq \frac{3}{4}$
(C) $\frac{1}{4} \leq p \leq \frac{11}{12}$
(D) $\frac{2}{3} \leq p \leq \frac{11}{12}$

11. $(x - 2y + 3z)^6$ 的展開式中，$x^3 y^2 z$ 的係數為何？

(A) 60
(B) 180
(C) 240
(D) 720

12. 設 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 為正實數，若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 為等差遞增數列且 $a_1, a_2, a_4$ 為等比數列，則 $\frac{a_1}{a_4}$ 之值為何？

(A) $\frac{1}{12}$
(B) $\frac{1}{6}$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) $\frac{1}{3}$

13. 已知一次函數 $y = ax + b$ 同時通過第一、三、四象限，下列哪一個選項的圖形最接近三次函數 $y = ax^3 + bx$ 的圖形？

(A)
(B)
(C)
(D)

14. 設 $\alpha$、$\beta$ 為 $2x^{2} - x + 5 = 0$ 的兩根，試求 $\frac{1}{2\alpha^3 - \alpha^2} + \frac{1}{2\beta^3 - \beta^2}$ 之值為下列何者？

(A) $\frac{1}{5}$
(B) $\frac{5}{2}$
(C) $\frac{1}{25}$
(D) $-\frac{1}{25}$

15. 試求滿足此不等式 $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x + 2} < -1$ 的正整數解共有幾個？ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

16. 設 $a = \cos 340^{\circ}, b = \sin 157^{\circ}, c = \tan 225^{\circ}, d = \cot 220^{\circ}, e = \csc 503^{\circ}$，則下列關於 $a, b, c, d, e$ 的大小關係何者正確？ (A) $a < b < c < d < e$ (B) $b < a < c < d < e$ (C) $a < b < c < e < d$ (D) $b < a < c < e < d$

17. 機圖 $4x^{2} + 9y^{2} - 8x + 36y + 4 = 0$，下列選項何者正確？ (A) 機圖的中心在 $(-1,2)$ (B) 長軸長為 3 (C) 短軸位於 $y = -2$ (D) 正焦弦長為 $\frac{8}{3}$

18. 設 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 為坐標平面上兩個非零且不平行的向量，已知 $|\vec{v}| = 1$、$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3}$ 且 $\vec{u} + \vec{v}$ 和 $\vec{v}$ 垂直，則下列選項何者錯誤？ (A) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$ (B) $|\vec{u}| = 2$ (C) $|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{7}$ (D) $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的夾角為 $\frac{\pi}{3}$

19. 已知方程 $\begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ 有無窮多解，則 $a = ?$ (A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) -2

20. 設三次多項式 $f(x) = 3(x + 2)^3 - (x + 2)^2 - (x + 2) - 2$，則下列選項何者正確？ (A) $f(x)$ 的常數項為 $-2$ (B) $f(x)$ 除以 $x - 8$ 的餘式為 $-680$ (C) $f(x)$ 除以 $x^2 - 8x$ 的餘式為 $363x + 16$ (D) $2x + 5$ 為 $f(x) + \frac{17}{8}$ 的因式

21. 不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > \log_{\frac{1}{4}}(3 - x)$ 之解為 $a < x < b$，則 $a + b = ?$ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

22. 設 $k > 0$，已知圓 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$ 與直線 $L: 2x - y + k = 0$ 相切，非 $k = ?$ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

23. 空間中，設直線 $L: \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{-4}$ 落在平面 $E: ax - y + bz = 5$ 上，求

$$
a = ?
$$

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

24. 設 $-10 < m < 10$，試問有多少個整數 $m$，使得二次函數

$y = mx^2 + 10x + m + 6$ 的圖形恆在直線 $y = 2$ 的上方？

(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8

25. 已知空間中三點 $A(6, -4, 4), B(3, -1, 4), C(2, 1, 2)$，$A$ 到直線 $BC$ 的距離為何？

(A) 3
(B) 9
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $\frac{9}{2}$

26. 已知坐標平面上一定點 $A(1, 2)$，點 $F$ 為拋物線 $y = x^2$ 的焦點，若 $P$ 為拋物線上的動點，則 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PF}$ 的最小值為何？

(A) $\sqrt{2}$
(B) $\sqrt{5}$
(C) $\frac{7}{4}$
(D) $\frac{9}{4}$

27. 下列敘述何者正確？

(A) 若 $f(a)f(b) < 0$，由勘根定理知方程式 $f(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 中必至少有一實根
(B) 若 $f(x)$ 在 $x = 0$ 處不連續且 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，則 $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$
(C) 若 $m$ 是函數 $f(x)$ 的一個極小值，$M$ 是函數 $f(x)$ 的一個極大值，則 $M \geq m$
(D) 若 $f''(c) = 0$，則函數 $f(x)$ 的反曲點為 $(c, f(c))$。

28. 圓內接四邊形 $ABCD$，已知 $\overline{AD} = 5, \overline{BC} = 5, \overline{CD} = 3, \angle BCD = 120^\circ$，則 $\overline{AB}$ 的長度落在下列哪個範圍中？

(A) $1 \leq \overline{AB} < 3$
(B) $3 \leq \overline{AB} < 5$
(C) $5 \leq \overline{AB} < 7$
(D) $7 \leq \overline{AB} < 9$

29. 若 $(3 + i)(\cos \theta + i \sin \theta) = \sqrt{10}$，則 $\theta$ 是第幾象限角？

(A) 第一象限角
(B) 第二象限角
(C) 第三象限角
(D) 第四象限角

30. 若 $x, y, z, u \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，$(x - y)(y - z)(z - u)(u - x) \neq 0$，則 $(x, y, z, u)$ 有多少組解？

(A) 1296
(B) 360
(C) 750
(D) 630

31. 設 $a$ 為實數，$f(x) = x^4 + 2x^3 + ax^2 + 2x + 1 = 0$ 至少有一實根，求 $a$ 之最大值為何？

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 0

32. 銳角三角形 $ABC$ 中，若 $\tan A$，$\tan B$，$\tan C$ 成等差，則 $\tan A \tan C$ 的值為何？

(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) $\frac{1}{3}$

33. 已知 $y = \sin x$（$0 \leq x \leq \pi$）與 $x$ 軸所圍成的面積為 2，則 $y = |\sin x|$ 與 $y = \frac{2}{\pi} |x|$ 所圍成的區域面積為何？

(A) $1 + \frac{\pi}{8}$
(B) $1 - \frac{\pi}{4}$
(C) $2 - \frac{\pi}{8}$
(D) $2 - \frac{\pi}{2}$

34. 空間中一向量 $\overrightarrow{AB}$ 在 $xy$ 平面的投影長為 7，在 $yz$ 平面的投影長為 24，求 $|\overrightarrow{AB}|$ 的最大與最小值的和？

(A) 48
(B) 49
(C) 50
(D) 51

35. 指數函數 $f(x) = a^{x}$，其中 $a > 0$，$a \neq 1$，$x$ 為實數，則下列選項何者正確？

(A) $f(x)$ 的圖形必通過定點 $(1,0)$
(B) $f(x)$ 的圖形與任一平行 $x$ 軸的直線都恰有一交點
(C) 若 $x_{2} > x_{1}$，則 $f(x_{2}) > f(x_{1})$
(D) 若 $x_{1} \neq x_{2}$，則 $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} > f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right)$

36. 若函數 f(x) = \sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x + 2，則下列選項何者錯誤？ (A) 0 \leq f(x) \leq 4 (B) f(x) 在 x = \frac{2\pi}{9} 時有最大值 (C) f(x) 的週期為 \frac{\pi}{3} (D) f(x) 的圖形對稱於直線 x = \frac{5\pi}{9}

37. 如圖，$\triangle ABC$ 是腰長為 6 的等腰直角三角形，$^1P$ 是其內部一點，過 $P$ 作三條分別平行三邊的直線，得出三個腰長分別為 $x$，$y$，$z$ 的等腰直角三角形，則 $\triangle PDE$、$\triangle PFG$、$\triangle PHI$ 面積和的最小值為何？

(A) 12
(B) 6
(C) 10
(D) 14

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38. 已知空間中，直線 $L_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{6}$ 與 $L_{2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2s\\ y = -1 - s\\ z = 2s \end{array} \right.$ （$s$ 為任意實數）共平面，則 $L_{1}$、$L_{2}$ 的交角平分線方程式有兩條，設其中一條為

$T:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\ y = -1 + t\\ z = b + ct \end{array} \right.$，$t$ 為任意實數，其中 $a$、$c$ 同號，試問 $a + b + c$ 之值為何？

(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26

39. 在空間坐標系中有一直線 $L: \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y + z = 1 \end{array} \right.$ 及球面 $S: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$，現以 $z$ 軸為中心軸，將直線 $L$ 繞 $z$ 軸旋轉一圈後，直線與球面交出兩圓，則此兩交圓面積中，小圓面積：大圓面積的比為何？

(A) $5:12$
(B) $3:8$
(C) $4:9$
(D) $9:16$

40. 已知方程組 $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + z = a \\ x - 9y + 5z = b \\ 2x + 3y - 2z = c \end{array} \right.$，則下列哪個選項之 $a$，$b$，$c$ 可使得該方程組有解？

(A) $a = 1, b = 2, c = 3$
(B) $a = 4, b = 5, c = 6$
(C) $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}$
(D) $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$

41. 設 $f(x)$ 是奇函數，$g(x)$ 是偶函數，$f'(3) = g'(3) = 4$，選出正確的敘述。

(A) $f'(-3) = g'(-3) = 4$
(B) $f'(-3) = g'(-3) = -4$
(C) $f'(-3) = 4, g'(-3) = -4$
(D) $f'(-3) = -4, g'(-3) = 4$

42. 下列何者為在 $0 \leq x \leq 1$ 範圍內，$f(x) = x^3$ 的函數圖形與 $x$ 軸所圍面積的黎曼和？

(A) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{j=1}^{n} j^3$
(B) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{j=1}^{n} j^4$
(C) $\sum_{j=1}^{n} j^{3} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}$
(D) $\sum_{j=1}^{n} j^{4} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}$

43. 設函數 $f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + c$ ，其中 $c$ 為常數，已知 $f(x)$ 在區間 [-2,2] 上有最大值 3，則 $f(x)$ 在區間 [-2,2] 上的最小值為何？

(A) -37
(B) -11
(C) -5
(D) 條件不足，無法判定

44. 設矩陣 $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ，且 $P A P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ，若 $A^6 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，則 $b = ?$

(A) 126
(B) 127
(C) 128
(D) 130

45. 若複數滿足 $|z - 1| = 1$ ，而複數 $\omega = z i, i = \sqrt{-1}$ ？諸求 $|\omega + 4 - 3i|$ 的最大值為何？

(A) $1 + 3\sqrt{3}$
(B) $1 + 2\sqrt{5}$
(C) $1 + \sqrt{34}$
(D) $1 + 4\sqrt{2}$

46. 一質點從數線上原點出發，每次投擲一公正骰子，得偶數向右移動 1 單位，得奇數則向左移動 1 單位，則投擲 10 次後它的位置在 6 的機率為何？

(A) $\frac{10}{1024}$
(B) $\frac{21}{1024}$
(C) $\frac{45}{1024}$
(D) $\frac{210}{1024}$

47. 設 $S_n$ 表示自然數 $21^n$ 所有正因數的和，則 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{21^n} = ?$

(A) $\frac{1}{12}$
(B) $\frac{1}{21}$
(C) $\frac{7}{4}$
(D) $\frac{7}{3}$

48. 設 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 4$，已知 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 4$ 且 $\lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x + 2} = k$。其中 $k$ 為實數，則下列選項何者錯誤？

(A) $\deg f(x) = 2$
(B) $\lim_{x \to -2} f(x) = 0$
(C) $a + b + c = 14$
(D) $k = 6$