115年 - 115 臺南市市立國民中學正式教師聯合甄選試題：數學專門科目#141475

1. 求曲面+ y 3 + ＝4 在其上一點 (4, 1, 1) 上的切平面方程式為何？ (A) x + 12y + z＝17 (B) x + 12y + 2z＝18 (C) x + y + 12z＝17 (D) x + 2y + 12z＝18 2 −1 0

2. 設 α₁ , α₂ , α₃ 為矩陣 A＝的三個特徵值(eigenvalues)，則α₁³ + α₂³ + α₃³ ＝？(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 35 

3. 設 x＝ ，則 x³+3x+2 之值為何？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

4. 下列何者不是 11 的倍數？ (A) 24100−1 (B) 390−1 (C) 6334−4 (D) 1748+4

5. 設年利率為 8%，若依複利計算，則至少要 n 年(取整數年數)本利和才會超過本金的 3 倍。求 n＝？ (log 2＝0.301，log 3＝0.477 ) (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17

6. 設點 A(3, 0)，P 為雙曲線 x2 − y2 ＝1 上任一點，則AP ̅̅̅̅之最小值為何？ (A) √3.2 (B) √3.3 (C) √3.4 (D) √3.5 x = − 3 + 5 cos θ

7. 橢圓的參數方程式 { (θ為參數)，則它的焦點坐標可能為何？ y = 4 + 3 sin θ (A) (−7, 4) (B) (3, 4) (C) (−3, 0) (D) (−3, 8)

8. 在△ABC 中，若 2cos A sin B＝sin C，則△ABC 一定是何種三角形？ (A) 等邊三角形 (B) 直角三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等腰三角形 【共 5 頁，第 1 頁】  1 1 1

9. 求 lim (n+1 + n+2 + ...... + n+n)＝？ n→∞ (A) 1 (B) ln2 (C) 2 (D) ln3 1 1 1

10. 求 lim ( +√ 2 + ...... + √ 2 ) ＝？ n→∞ √n2 +1 n +2 n +n (A) 1 1 (B) 2 1 (C) 3 1 (D) 4 2 2

11. 兩個向量 a⃑ 、b⃑ 滿足 |a⃑ − 2b⃑ |＝1、|2a⃑ + ⃑b|＝2，則6 a⃑ − 4 a⃑ ∙ ⃑b + 9 ⃑b 的值為何？ (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 9 2−x

12. 已知 f (x)＝ ，定義 f1 (x)＝f (x)、fn+1 (x)＝f (fn (x))，則 f10 (x)＝？ 1−2x 2−x (A) 1−2x 1−2x (B) 2−x x−1 (C) x (D) x 3

13. 滿足√1 + √? ＝ √? − 1 的實數解有幾個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

14. 關於導數(derivatives)與微分的性質，下列敘述何者正確？ 1 −1 (A) 若函數 f (x)可微分，則 f ( )的導數為 ? (?(?))2 (B) 若 f (x)＝?? 2 ，則 f ′ (?)＝e2+2xe (C) 若 f (x) ＝|x3 + 2x|，則 f ′ (?)＝|3x2 + 2| (D) 若 f (x)＝tan2 ?且?(?)＝sec2 ?，則 f ′ (?)＝?′(?)

15. 關於定積分與反導數(antiderivatives)的性質，下列敘述何者正確？ ? (A) 若 f為連續函數，則∫3 f (?) ??的最小值發生在x＝3處 ?+2 (B) 若 f為連續函數，則∫? f (?) ??之值必為與?無關之常數 4 (C) 若∫1 f (?) ??＝12，則函數 f 在閉區間[1,4]上的平均值為 4 (D) 偶函數(even functions)的反導數必為奇函數(odd functions)

16. 設級數 S＝3+35+352+......+3512，則下列何者正確？ (A) S 為 10 位數，個位數為 6 (B) S 為 10 位數，個位數為 3 (C) S 為 9 位數，個位數為 2 (D) S 為 9 位數，個位數為 3

17. 已知圓 x2+y2+4 x+k y+m＝0 與直線 2 x−3y＝7 相切於點(1 ,−1)，則 2k+m＝？ (A) −27 (B) −21 (C) −15 (D) 2(E)一律給分

18. 某城市有一種傳染病的診斷方法，根據過去的醫學經驗得知：確定染病的人經檢查被確診為患病的可能性為 70%； 而健康的人經檢查卻被誤診為患病的可能性為 10%。已知該城市中實際患有此疾病的人口比例為 2%。若從該城市中 隨機抽取一人進行檢測，請問該診斷方法對全體市民所造成的「誤診率」(即檢測結果與實際患病情況不符的機率) 為多少？ (A) 10.4% (B) 12% (C) 30.6% (D) 40% 1

19. 設 A 與 B 皆為 33 的方陣，已知 A 的行列式值為−7，B 的行列式值為 ，試求矩陣−3ATB-1 的行列式值為何？ 2 (A) −378 (B) 378 63 (C) 2 (D) 42

20. 設f (x)為一個三次多項式，若y＝f (x)的圖形通過平面上的四個點：( − 3,120)、( − 2,51)、(3, − 24)與(4, − 69)， 則此多項式的三次項係數為何？ (A) −2 (B) 5 (C) −6 (D) 3

21. 有一數列a1 + 3, a2 + 6, a3 + 9, ...... , a9 +27, a10 +30共計 10 項，其和為 295。求∑10 a + 4k之值為何？ k＝1 k (A) 130 (B) 350 (C) 360 (D) 370 y

22. 如圖(一)，設 m 為實數，若 P 點的坐標為(2﹐3)。下列選項中，哪一個點坐標代入二元一次 方程式 y − 3＝m × (x − 2)後，所得之 m 值最小？ •A •B (A) A 點 (B) B 點 •C •P(2, 3) (C) C 點 x •D (D) D 點 圖(一)

23. 若 a﹐b﹐k 為實數，a (x2 − 4xy + 5y2 − y) + b (3x2 − 3y2 + x) + 12xy − 38x + 12y + k＝0的圖形為一個圓且圓半徑為 2。 關於此圖形的敘述，四位學生提出說明如下﹕ 甲說：a 的值為 2，b 的值為 3 1 乙說：此圓的圓心是(2,− ) 2 1 丙說：k＝ 4 9 丁說：k＝ 4 請問：誰提出的說明正確？ (A) 只有甲和乙 (B) 只有甲和丙 (C) 只有乙和丁 (D) 只有甲、乙和丁

24. 坐標空間中有三個相異平面 E1，E2，E3 皆通過 (−1, 2, 0) 與(1, 1, 1)兩點。坐標空間中另有甲(2,−1, 1)、乙(3, 0, 2)、 丙(−3, 3, 1)、丁(21,−9, 11)四點。請問下列哪些點也同時在此三平面上？ (A) 只有甲和乙 (B) 只有乙和丙 (C) 只有乙和丁 (D) 只有丙和丁 【共 5 頁，第 3 頁】

25. 如圖(二)，有一矩形 ABCD 內接於一個直徑為 4 的半圓形內。 求此矩形的最大面積為何？ A D (A) 2√2 (B) 4 (C) 4√2 (D) 5 B C

26. 若方程式 |x2 + 3x + 2|＝k 恰有兩個實數解，此時 k 的值為何？ 圖(二) (A) k＞0 1 (B) 0＜k＜ 4 1 (C) k＝0 或 k＞ 4 1 (D) k＝ 4 5 7 9

27. 正整數 1~2026 中，無論除以 、除以 或除以 後，結果仍然是整數的共有多少個？ 2 4 6 (A) 6 個 (B) 7 個 (C) 19 個 (D) 20 個 9x 1 2 2025 2026

28. 設函數 h (x)＝ x ，求 ℎ (2027) + h (2027) + ...... + h (2027) + h (2027) ＝？ 9 +3 (A) 2027 (B) 2026 (C) 1014 (D) 1013

29. 求 f (x)＝sin2 x cos x 的最大值＝？ 2√3 (A) 9 √3 (B) 3 √2 (C) 3 √3 (D) 9 2+x

30. 已知函數 f 滿足 f ( )＝x，求 f ′(3) ＝？ 2−x (A) 1 1 (B) 2 1 (C) 3 1 (D) 4 π

31. 若 y＝3 tan x − 2 csc x，則 y′ ( 3 ) 最接近下列哪一個整數？ (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 3x −3-x 1 1

32. 設 f (x)＝ x -x ，且 f (m)＝ ，f (n)＝ ，求 f (m＋n)＝？ 3 +3 5 6 11 (A) 30 12 (B) 30 11 (C) 31 12 (D) 31 【共 5 頁，第 4 頁】  8

33. 化簡 tan ( sin-1 )＝？ 17 15 (A) 8 17 (B) 8 8 (C) 15 15 (D) 17 √x+2 −√2

34. 求極限lim sin x ＝？ x→0 √2 (A) 4 √2 (B) 2 1 (C) 2 (D) 0

35. 假設 V 是一個實數的內積空間，且讓 v1, v2 ∈ ?。已知⟨ v1 , v1 ⟩＝⟨ v1 , v2 ⟩＝⟨ v2 , v2 ⟩＝1，則‖ v1 + v2 ‖＝？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

36. 方程式(4 cos x sin x + 1)(sin2 x + cos x + 1)＝0在區間[ 0, 2π ]裡有幾個解？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

37. 下列哪個多項式沒有實數根？ (A) x2+x−1＝0 (B) x3+2x2+3x+4＝0 (C) x4+x3+3x2+2x+2＝0 (D) x5+x+1＝0