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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
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113年 - 113 專技高考_電子工程技師：工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率）#123976
> 申論題
題組內容
一、考慮下列之 5 階常微分方程：
假設初始值為
。
令
(二)若
，請求v (t)之特解（particular solution）。
相關申論題
(一)請求矩陣 Q 之特徵值與對應之特徵向量。（20 分）
#527017
(二)請判斷此二次型為（半）正定（positive（semi）definite） 、（半）負定（negative（semi）definite）或皆不是？若限制=1，請求此二次型之極大與極小值。（10 分）
#527018
(一)請求其穩態時（時間很大時，即 t → ∞ ）之解。（提示：穩態解對時間不再變化，只與空間變數有關） （10 分）
#527019
(二)請求此問題之特徵函數（eigenfunctions）。（提示：先做座標轉換，移除穩態解，使邊界條件為齊次，再以分離變數法求特徵函數） （20 分）
#527020
(一)如圖一所示，有一半圓路徑 C。若有一帶電粒子沿此路徑移動，從（1, 0）移動至（-1, 0），請求此電力場對此粒子運動所作之功，即求W =， r =(x, y)為粒子質點位置。（10 分）
#527021
(二)如圖二所示，此粒子再由（-1, 0）沿水平直線移動至（1, 0） ，形成一封閉路徑。請以格林定理（Green’s theorem）求此電力場對此粒子沿此封閉路徑運動所作之功。（10 分）
#527022
(一)請寫出傳輸線上電壓 V(z)與電流 I(z)的數學表達式，以及負載端（z = L）的電壓與電流數學表達式。（6 分）
#527023
(二)若負載阻抗 ZL = ∞（即開路），求負載端的電壓波反射係數和輸入端（z = 0）的輸入阻抗 Zin。（6 分）
#527024
(三)證明在(二)情況下，輸入阻抗 Zin 與傳輸線長度 L 之間滿足Zin =- jZ0 cot(βL ) 的關係式。（6 分）
#527025
(四)解釋(三)中關係式的物理意義。（7 分）
#527026
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。
，請求v (t)之特解（particular solution）。
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。，請求v (t)之特解（particular solution）。