115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_電子組（選試英文）：工程數學#140894

1.給定兩向量 u = [1 0 -1]^T 及 v =[ 0 -1 1]^T ，下列選項何者錯誤？  (A)此兩向量的範數(norm)的和為 2√ 2 (B)此兩向量的內積(inner product)為 -1 (C)此兩向量的外積(cross product)為 [ -1 1 -1] ^T  (D)此兩向量的夾角為 \( \frac{2\pi}{3} \)

2. 矩陣 A 具有特徵多項式(characteristic polynomial) p(λ ) = (λ -1)(λ + 1)(λ- 2) ² (λ + 2)² (λ - 3) ，下列選項何者正確？

(A)矩陣 A 的行列式值(determinant) det ( A ) = p(0)

(B)矩陣 A 的維度(dimensions)為 4

(C)矩陣 A 的行列式值(determinant) det ( A ) = -48

(D)矩陣 A 的秩(rank)為 5

3.給定兩向量 u = [1 0 1]^T 及 v = [ 0 1 1]^T ，分解 u 為 u₁ + u₂ ，其中 u₁ 為 u 在 v 的垂直投影(orthogonal   projection)，則下列選項何者錯誤？ (A)向量 \( u_1 = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^T \)(B)向量 \(u_2 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^T\) (C)向量 u2 的範數(norm) \( \|u_2\| = \frac{\sqrt{6}}{2} \) (D)兩向量 u₁ , u₂ 的內積(inner product)為零 

4.令 B = {u₁ , u₂ } 及 B' = {v₁ , v₂ } 為 \( \mathbb{R}^2 \)兩組基底 ( bases ) ， 其中 u₁=[  0 - 1]^T , u2 = [ -1 0]^T ,  v₁ = [ -1 0]^T , v2 = [ 0 - 1]^T ，若 T_B→B' 是 B 到 B' 的線性轉換矩陣且 \(T_{B \to B'} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，則下列選項何者正確？ (A) a, b 兩數乘積 ab = 1 (B) b, c 兩數乘積 bc = 1 (C) a, c 兩數乘積 ac = 1 (D) c, d 兩數乘積 cd = 1

5. 令 T : \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) 為一個線性映射函數，其定義為 T ( x, y) = ( x + y, x + 2 y) ，則下列選項何者錯誤？ (A)函數 T 之零核空間(null space)的維度為 0 (B)函數 T 的秩(rank)為 2 (C)函數 T 為一對一函數 (D)函數 T 之行空間(column space)的維度為 0

6. A 、 B 和 C 均為 2 × 2 矩陣且 AC = BC ，上標 T 代表矩陣轉置，則下列敘述何者錯誤？ (A) C ^T A^T = C^T B^T (B) A( BC ) = ( AB)C (C)A=B (D) ( A + B)C = AC + BC

7. 向量 V₁ = [1, 2, 0] V₂=[ -2, 2, 1] ，則下列何者正確？ (A) V₁ 和 V₂ 互相平行 (B) V₁ 和 V₂ 可展開 3 維空間中的任一向量 (C) V₁ 和 V₂ 線性獨立 (D) V₁ 和 V₂ 互相垂直 

8. \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，下列關於 A 的特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector)的敘述何者錯誤？ (A) 3 是特徵值 (B) 4 是特徵值 (C) \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)是特徵向量 (D) \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)是特徵向量 

9. 複變函數(complex function) f ( z ) = sec(z ) ，則此函數在 z = \(-\frac{\pi}{2}\)的殘餘數(residue)為何？  (A) -1 (B)1 (C) -2 (D)2 

10. 複變函數(complex function) \(f(z) = \frac{z-1}{z^2 - 2z + 2}\)，若 C 為逆時鐘繞圓周 | z - i |= 2 的路徑，且積分 ∮_C f ( z )dz = a + bi ，其中 a, b 為實常數，且 i = √-1 ，則下列選項何者正確？ (A)a = π (B) a = 2π (C)b = π (D) b = 2π  

11. 給定複變數函數\(f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}\)， 針對區域 | z | > 2 對函數 f ( z) 展開可得 f ( z ) = az ^-2 + bz ^-3 + cz ^-4 + dz ^-5 +... ，其中 a, b, c, d 為實常數，則下列選項何者錯誤？ (A)a =1 (B)b = 3 (C)c = 7 (D) d = 13

12. 複變函數 f ( x + iy ) = x ² + ay ² + i 2 xy ， a 為常數，如果 f 為可解析的函數(analytic function)，下列何者正確？ (A) a = -2 (B) a = -1 (C)a =1 (D)a = 2 

13.下列何者為二階常微分方程式\([4x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 4x \frac{dy}{dx} - 5y = 0\)的解(c1,c2為任一實數(realvalues))？(A)\(y = c_1 x^{\frac{5}{2}} + c_2 x^{\frac{1}{2}}\)(B)\(y = c_1 x^{\frac{5}{2}} + c_2 x^{\frac{1}{2}}\)(C)\(y = c_1 x^{\frac{5}{2}} + c_2 x^{\frac{1}{2}}\)(D)\(y = c_1 x^{\frac{5}{2}} + c_2 x^{\frac{1}{2}}\)

14. 考慮微分方程式 ( y + x ² ) dx = xdy 使滿足 x = 1, y = 2 的解為 y = ax ² + bx ^c ，其中 a , b, c 為實常數，則 下列何者正確？ (A) a = -1 (B) b = -2 (C)c = 2 (D)c =1 

15. 函數 f (t ) 之拉普拉斯轉換(Laplace transform)為 \( \mathcal{L}\{f(t)\} \)，令\( \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s^2(s-1)} \)則下列何者正確？  (A) f (t ) = e ^t - t - 1 (B) f (t ) = - e ^t - t - 1 (C) f (t ) = e ^t + t - 1 (D) f (t ) = - e ^t + t - 1

16. y ' + y = x , y (0) = 7 ，下列何者為正確解答？ (A) y = x - 2 + 9e ^{- x} (B) y = x - 1 + 8e ^{- x} (C) y = x 2 - 1 + 8e ^{- x} (D) y = x ² - 2 + 9e ^{- x}

17. 一階常微分方程式 ( cos (x ) - 2 xy ) + (e ^y - x ² )y ' = 0, y (0) = 1 下列何者為正確解答？ (A)\(e^y - x^2 y + \sin(x) = e\)(B)\( e^{-x} - x^2 y + \sin(x) = e \) (C)\( e^y - x^2 y + \sin(y) = e \)(D) \(e^{-x} - x^2y + \sin(y) = e\)

18. 已 知 隨 機 變 數 X 和 Y 的 聯 合 機 率 密 度 函 數 ( Joint probability density function ) 為 \[ f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} kx^2y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] ，其中 k 為實數，則下列何者正確？  (A) k =10 (B)在 0 < y < 1 , \(f_Y(y) = 5y^3\) (C)隨機變數 X 之期望值(expected value)為\( \frac{5}{8} \)(D)隨機變數 Y 之期望值(expected value)為\( \frac{3}{8} \)

19. 隨機變數 X 之機率質量函數\(P_X(x) = \begin{cases} (\frac{1}{4})(\frac{3}{4})^{x-1}, & x=1,2,\dots\dots \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\) ，則 X 之期望值為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 

20. 條件機率質量函數 \(P_{Y|X}(y|0) = \begin{cases} 0.8, & y=0 \\ 0.2, & y=1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\) \(P_{Y|X}(y|2) = \begin{cases} 0.5, & y=0 \\ 0.5, & y=1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)，其中 \(P_X(x) = \begin{cases} 0.4, & x=0 \\ 0.6, & x=2 \end{cases}\)則 \(P_{x|y}(0|0)\)=? (A) \(\frac{4}{31}\) (B)\( \frac{8}{31} \) (C)\( \frac{16}{31} \) (D)\( \frac{18}{31} \)