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首頁 > 研究所、轉學考(插大)-基礎數學 > 109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：基礎數學#147039 > 申論題

題組內容

2. (10%) Sketch the graph of a function f(x) which has all of the following properties:

(c) \( f^{\prime}(5) = 0 \) \( f^{\prime}(-2) = 0 \)

相關申論題

(d) \( f'(x) > 0 \) if \( x < -2 \) or \( x > 5 \), \( f'(x) < 0 \) if \( -2 < x < 1 \) or \( 1 < x < 5 \).

(e) \( f''(x) > 0 \) if \( x < -3 \) or \( x > 1 \), \( f''(x) < 0 \) if \( -3 < x < 1 \).

3. (10%) Evaluate the integral $$E = \int_{0}^{L} \frac{\lambda c}{4\pi\delta(x^2 + c^2)^{3/2}} dx$$ Where $c, \lambda, \delta, L$ are constants.

4. (10%) Evaluate the double integral $$\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{4} x e^{-y^2} dy dx$$

5. (10%) Let the function $f(t) = \sin(t^2)$ as shown in Figure 2. Consider two areas A(x) and B(x) for x < 1.5, where A(x) represents the triangular area, while B(x) designates the definite integral of f(t) from t = 0 to t = x. Find $$\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{B(x)}$$

(a) Write down the characteristic polynomial of \( A \) and use it to find the eigenvalues. (4%)

(b) Find the eigenspaces of \( A \). (5%)

(c) Orthogonally diagonalize the matrix \( A \). (You need to find out an orthogonal matrix \( P \) and a diagonal matrix \( D \) such that \( P^T AP = D \).) (10%)

(a) \( \operatorname{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\} \) is a subspace of V. (10%)

(b) \( \operatorname{span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k\} \) is the smallest subspace of \( V \) that contains \( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_k \). (4%)

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