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6. Suppose that f(x) is continuous on [0,6] and f(0) = f(4) = 0. The graph of f'(x) is given as below, but values of f'(1), f"(2) and f'(4) are not determined. It is known that

(e) Suppose that , for ＞ 6. -f(6).

詳解 (共 1 筆)

助人為本
助人為本
詳解 #7376356
2026/05/18
所以這題要我們求limx趨於無窮大f(x)-f(6)，根據微積分基本定理，函數值的差其實就是導函數在該區間的定積分(曲線下的面積)，所以這題我們真正的目標是去求暇積分
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所以我們先處理第一項
-32/x^2+2x
1.分母可以先拆成x(x+2)
2.然後1/x(x+2)可以拆成1/x-1/(x+2)然後再乘以1/2
3.然後再乘以-32，可以得到為-16(1/x-1/(x+2))
4.最後進行積分
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然後處理第二項可以知道分母是二次式且不能拆出實數根，要想到配方並這裡要運用一個之間背過的公 式積分1/u^2+a^2du=1/aarctan(u/a)
所以分母配方可以得到(x-3)^2+3^2
套進公式可以得到
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然後由前面可以知道這為定積分
所以代入上下限(上限:無窮大，下限:6)
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