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研究所、轉學考(插大)◆數理統計學
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98年 - 98 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所:數理統計#147979
> 申論題
題組內容
1. 設
\( X, Y \)
為二獨立的
\( C(0, a) \)
分佈隨機變數,
\( a > 0 \)
。令
\( Z = X/Y \)
。
(iii) 試求
\( Z \)
之期望值。
相關申論題
(iv) 試求 \( U = 1/Z \) 之分佈。
#610871
(i) 試給出 $\theta = (\mu, \sigma^2)$ 之一完備充分統計量。
#610872
(ii) 試給出 $\sigma$ 之UMVUE $\hat{\sigma}$。
#610873
(iii) 試證 $n \to \infty$ 時,$\sqrt{n}(\hat{\sigma} - \sigma) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \sigma^2/2)$。
#610874
(iv) 試求 $\lim_{n \to \infty} nVar(\hat{\sigma})$。
#610875
3. 設 \( X_1, \cdots, X_n \) 為一組由 \( \mathcal{N}(\theta_1, \theta_3) \) 分佈所產生之隨機樣本,\( Y_1, \cdots, Y_m \) 為一組由 \( \mathcal{N}(\theta_2, \theta_3) \) 分佈所產生之隨機樣本,二組隨機樣本假設為相互獨立。又設 \( \theta_1, \theta_2 \in R, \theta_3 > 0 \) 皆為未知。欲檢定 \( H_0 : \theta_1 = \theta_2 \), vs. \( H_a : \theta_1 \neq \theta_2 \)。在 \( n + m > 2 \) 之假設下,試求概似比檢定(LRT, likelihood ratio test)。
#610876
(i) 在給定 $\mathbf{X} = \mathbf{x}$ 下,試求 $\theta$ 之事後分佈。
#610877
(ii) 試求 $\theta$ 之一 $(1 - \alpha)$ 貝氏信賴區間。
#610878
5. 設 \( \{X_1, \dots, X_n\}, \{Y_1, \dots, Y_m\} \) 為二組獨立的樣本,分別以 \( F_1 \) 及 \( F_2 \) 為其共同的分佈函數。欲檢定 \( H_0 : F_1 = F_2 \), vs. \( H_a : F_1 > F_2 \)。試給出一顯著水準為 \( \alpha \) 之檢定。並說明樣本數較大時,可取何近似的拒絕域。
#610879
1. Suppose that nX is a random sample with variance σ2 . Let \( U = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} X_{2i-1} \) and\( V = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n} X_i \) . Consider Chebyshev inequality and Center Limit Theorem, respectively, tosuggest a value of n which such that \( P(|U - V| \le \sigma) \) . Which method gives a smallersuggested value of n ? Why? (40%)
#610880
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