3. (10%) Solve the recurrence relation \( na_n - (n+1)a_{n-1} = 1 \) with the initial condition \( a_0 = 1 \).

(a)(5%) The nonsingular matrix A can be reduced to row echelon form with a finite number of elementary row operations. Thus \( U = E_k E_{k-1} \cdots E_1 A \), where \( U \) denotes the upper triangular matrix, and \( E_n \) represents the elementary matrix, \( n = 1, \dots, k \). Then \( \det(U) = \det(E_k)\det(E_{k-1}) \cdots \det(E_1)\det(A) \). Use the above two equations, first find \( U \) and then compute \( \det(A) \) for the above linear system.

(b) (5%) (Triangular Factorization problem) Let \( A = LU \), where \( L \) and \( U \) denote the lower triangular matrix and upper triangular matrix, respectively. Find \( L \).

(c) (5%) Express the linear system in matrix representation \( A\vec{x} = \vec{b} \), then solve the linear system by computing \( A^{-1} \).

(d) \( (5\%) \) Solve the linear system using Cramer's Rule.

(a) \( (2\%) \) Is \( \{\vec{a}1,\vec{a}2,\vec{a}_4\} \) a spanning set for \( \mathbb{R}^3? \) Explain why or why not.

(b) \( (3\%) \) Are vectors \( \vec{a}1, \vec{a}2, \vec{a}3 \), and \( \vec{a}4 \) linearly independent? Explain why or why not.

(c) \( (5\%) \) Let matrix \( A = (\vec{a}1,\vec{a}2,\vec{a}_3) \). Find the eigenvalues of \( A \).

(d)(5%) Let \( \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \) be the eigenvalues of matrix A. Prove that \( \det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \cdots \lambda_n \).

6. (5%) Apply "Cauchy-Schwarz Inequality" and prove \( \| \vec{u} +\vec{v}\| \leq \| \vec{u}\| +\| \vec{v}\| \)

(a) (5%) If \( L \) is a linear transformation mapping from \( R^n \) into \( R^m \), there is an \( m \) by \( n \) matrix \( A \) such that \( L(\vec{x}) = A\vec{x} \) for each \( \vec{x} \in R^n \). This is the matrix representation for a linear transformation. Prove that the \( j \)th column vector \( \vec{a}j \) of \( A \) is given by \( \vec{a}j = L(\vec{e}_j) \), for \( j = 1, 2, \dots, n \).

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147267

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147271

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147240

113年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147270

113年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147238

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147239

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147257

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147245

111年 - [無官方正解]111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_金融與合作經營學系：合作經濟學#147235

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147277