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研究所、轉學考(插大)◆機率統計
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114年 - 114 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系:機率統計#144147
> 申論題
題組內容
一、機率部分:
1. 假設連續型隨機變數 \(X_1 \sim U(0,1)\) 且 \(X_2|x_1 \sim U(0,x_1)\),
iv. (3 分) W
1
與 W
2
是否獨立?請說明原因。
相關申論題
2. (10 分) 假設連續型隨機變數 ? 且服從以下機率密度函數:\[f(x) = \begin{cases}\frac{1}{2\pi}, & 0 \le x \le 2\pi \\0, & \text{其他}\end{cases}\]試求 \( Y = X^2 + 2X + 1 \) 之機率密度函數。
#588886
i. (5 分) 試求X|X > 2 的條件機率密度函數。
#588887
iii. (3 分) 試求條件變異數 Var[X|X > 2]。
#588888
4. (10 分) 假設 \( X_1, ..., X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2) \) 且 \( \mu \in \mathbb{R} \& \sigma^2 \in (0, \infty) \)。令\[ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]\[ S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}_n)^2 \]試證 \( \frac{\sqrt{n}(\overline{X}_n - \mu)}{S_n} \xrightarrow{D} N(0,1) \) 當 \( n \to \infty \)。
#588889
二、 統計部分:5. (10 分) Suppose \(X_1, X_2, \dots, X_n\) are i.i.d. random variables following the exponential distribution with PDF\[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, x \ge 0, \lambda > 0. \]Find the MLE of \(\lambda\).
#588890
(a) (10 分) Find an unbiased estimator for μ.
#588891
(b) (10 分) Show that your estimator is the UMVUE for μ.
#588892
(a) (10 分) State the null and alternative hypotheses for a one-sample t-test.
#588893
(b) (10 分) Conduct the t-test at a significance level of α=0.05. Include the calculation of the test statistic and the decision rule.
#588894
ii. (2 分) 試求條件期望值 E[X|X > 2]。
#588895
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