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3. 以下是課本對於自然常數 e 的介紹:數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 為嚴格遞增數列,而 \(e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284 \dots\)某日建仔用電腦(Excel 軟體)計算 \((1 + \frac{1}{10})^{10}, (1 + \frac{1}{100})^{100}\),\((1 + \frac{1}{1000})^{1000}, \dots, (1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的值,卻驚訝發現:當 k = 15 時,\((1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的計算結果是 \(3.035035207 \dots\),截圖如下:| k | \((1+1/10^k)^\wedge(10^k)\) || --- | --- || 1 | 2.59374246 || 2 | 2.704813829 || 3 | 2.716923932 || 4 | 2.718145927 || 15 | 3.035035207 |(6) (1)\[(1 + \frac{1}{n})^n\]\[= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n-1}{n})\](6) (2)對於 \(n = 1, 2, 3, \dots\),數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 的每一項皆小於 3。5

3(6) 2.(6) 建仔欲利用環形面積的低估與高估,來證明半徑為 r 的圓面積 \(A = \pi r^2\)。他首先將半徑 3 等分,然後利用同心圓劃分出三個區域,分別為區域 1、區域 2 和區域 3,如下所示:![img-0.jpeg](img-0.jpeg)| | 區域 1 | 區域 2 | 區域 3 || --- | --- | --- | --- || 圖示 | | | || 說明 | 半徑 \(\frac{r}{3}\) 的圓 | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域, 小圓半徑 \(\frac{r}{3}\),大圓半徑 \(\frac{2r}{3}\) | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域, 小圓半徑 \(\frac{2r}{3}\),大圓半徑 \(\frac{3r}{3}\) || 面積的低估 | 以長 \(2\pi \cdot 0\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 0 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) || 面積的高估 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3}\),寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形 做估計,面積為 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) |4接著,建仔將上表中對於 A 的估算寫成不等式:\[2\pi \cdot 0 \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} \leq A \leq 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\]現在,請重新將半徑 n 等分並仿照建仔的方法估算 A,然後使用夾擠定理證明圓面積公式\[A = \pi r^2\](12 分)

1.在校慶園遊會中,創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶,計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中,當顧客支付 20 元後,必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束,顧客將獲得 500 cc(立方公分)的紅茶;但如果硬幣投擲出正面,然後再次投擲出反面,顧客將獲得的紅茶量為 500 + 250 cc。若連續投擲 2 次正面,然後才投擲出反面,則顧客獲得的紅茶量為 500 + 250 + 125 cc,依此類推。若連續投擲 n - 1 次正面,然後才投擲出反面(總共投擲了 n 次硬幣),顧客將獲得的紅茶量為\[500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \text{ cc} 。\]然而,700 cc 紅茶的所有成本是 20 元,因此當支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過 700 cc 時,建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性,請計算支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。(12 分)

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6. 依「國有公共財產管理手冊」規定,重大災害後立即辦理財產狀況之檢查,稱為? (A)定期檢查 (B)不定期檢查 (C)緊急檢查 (D)災後檢查

20 下列何種保險契約其解約金債權不得作為扣押或強制執行之標的? ①主管機關為推動提升基本保險保障政策,公告之人壽保險契約 ②要保人為債務人之健康保險契約 ③要保人為債務人之傷害保險契約 ④要保人為債務人之財產保險契約 (A)①②③④ (B)僅①②③ (C)僅②③ (D)僅①②

48.已知 a, b, c, d 分別表示 1 至 9 中的四個不同數字,如果兩個二位數 10a + d 與 10b + d 的乘積恰好是一個三位數 100c + 10c + c ,則 a + b + c + d 之值為下列何者? (A)21 (B)23 (C)25 (D)27

49.已知一個三角形的三邊長分別為 √29, √34, √73 ,則此三角形的面積為下列何者? (A) 14 (B)\(14\frac{1}{2}\)(C) 15 (D)\(15\frac{1}{2}\)

50.已知一袋子裡有 11 顆球,分別編上號碼 1、2、3、…、10、11,今同時隨機取出 6 顆球,每顆被取出的機會相等,若取出的 6 顆球之號碼和為奇數,則其機率為下列何者?  (A)\( \frac{115}{231} \) (B)\( \frac{1}{2} \) (C)\( \frac{118}{231} \) (D) \( \frac{6}{11} \)

22.依據中華藥典,有關製劑之敘述,下列何者錯誤? (A)氣化噴霧劑係為加壓下包裝之製劑,可供皮膚局部、鼻、口腔或肺使用 (B)推進劑在內相之泡沫噴霧劑,可噴出安定之泡沫 (C)吸入劑應置於緊密容器內貯存 (D)吸入劑係將藥品溶液,自鼻腔或口腔吸入呼吸道,僅作用於局部之製劑