104年 - 104 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#146075

1. 令 X為一隨機變數，其機率密度函數為

\[ f(x) = \begin{cases} (x+1)/2, & \text{if } -1 < x < 1, \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases} \]
試求隨機變數 \( Y = X^2 \) 的機率密度函數。(10 分)

(a)少於8分鐘配兩付藥方；

(b)至少12分鐘配三付藥方；的機率各多少？ (15分)

(a)X與Y之聯合機率分配；

(b)X 之邊際分配；

(c)期望值E(X)=? (15分)

4. 設已知隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數為

\[ f(x, y) = \begin{cases} 2, & \text{if } 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
判斷 X 與 Y 是否獨立? 請證明你的答案。(10 分)

(a)樣本平均數\( \bar{X} \) 之抽樣分配;

(b)樣本平均數\( \bar{X} \) 之期望值;

(c)樣本平均數\( \bar{X} \) 之變異數。 (15分)

2.設有一組電燈泡的壽命從標準差δ為 30 小時的常態分配，但平均數 μ 未知。今利用樣本平均數 x̄ 來估計母體平均數 μ，試求：在 95% 的信賴水準下，估計誤差不超過 8 小時時所需要的樣本大小? (10分)

3. 某社區居民所構成的母體其血液中尿酸值平均數為5.5 mg/dL。假設此社區居民血液中尿酸值呈常態分配，並且其標準差 為1 mg/dL，今隨機抽取36位居民，並測得血液中尿酸值平均數為6.35 mg/dL，若設顯著水準 ，試檢定該社區居民血液中尿酸值平均數是否等於5.5 mg/dL？ (15分)

4. 某位學術機構研究人員想要了解台南地區國民小學學生過敏性鼻炎的比例，一項研究共抽樣出 5000 位學生，檢查結果發現其中有 600 位過敏性鼻炎，試求台南地區國民小學學生有過敏性鼻炎比例 \( p \) 的 90%信賴區間？ (10 分)

Table: Area \( \Phi(x) \) under the standard normal curve to the left of x