94年 - 94 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144387

1. 若 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & , \quad x \leq 0 \\ 2 + x & , \quad 0 < x < 2 \\ 3 & , \quad x \geq 2 \end{cases}$，則 f(f(0)) + f(f(2)) = ?(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

2. 求 $\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 + 3(2+h) - 10}{h} = ?$(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9

3. 若 $f(x) = \begin{cases} 5x + c & , \quad x \leq 2 \\ cx^3 - 3x + 2 & , \quad x > 2 \end{cases}$ 在 x=2 處連續，則 c = ? (A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2

4. 求 $f(x) = x + \frac{4}{x-2}$ 的相對極大值為何？ (A) -2 (B) 0 (C) 4 (D) 6

5. 若 $f(x) = \sqrt{2x+1}$，則 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-1}{x} = ?$ (A) -1 (B) $-\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) 1

6. 已知函數 f(x) 在開區間 (0, 3) 內為可微分函數。若在區間 (0, 3) 內 f'(x) 恆正，則下列何者必為真？ (A) f(1) > f(2) (B) f(1) < f(2) (C) f(1) < 0 (D) f(2) > 0

7. 下列函數的圖形，何者恆為凹向上？ (A) $f(x) = x^4 - 2x - 5$ (B) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ (C) $f(x) = x^3 + x^2 - 5$ (D) $f(x) = x^3 - x + 5$

8. 若 f'(x) = 2x - 1，對任意實數 x 均成立，且 f(2) = 3，則 f(-2) = ? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7

9. 求 $\int \frac{1 - \cos 2x}{\sin x} dx = ?$ (A) $-2 \cos x + c$ (B) $-\cos 2x + c$ (C) $\sin 2x + c$ (D) $2 \sin x + c$

10. 求 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{n} \cdot \sqrt{\frac{3i}{n} + 1} \right) = ?$ (A) $\frac{14}{9}$ (B) $\frac{16}{9}$ (C) $\frac{14}{3}$ (D) $\frac{16}{3}$

11. 設 $G(x) = \int_0^{2x} t \cos t \, dt$，則 $\lim_{x \to \pi} \frac{G(x) - G(\pi)}{x - \pi} = ?$ (A) $-4\pi$ (B) $-2\pi$ (C) $2\pi$ (D) $4\pi$

12. 求 $\int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{2x}}{e^{2x} - 1} \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2} \ln 8$ (B) $\frac{1}{2} \ln 12$ (C) $\ln 4$ (D) $\ln 8$

13. 已知連續複利率的公式為 $A = Pe^{rt}$，其中 A 為本利和，P 為本金，r 為年利率，t 為年數。 若 2 年後的本利和為 80 萬元，6 年後的本利和為 320 萬元，則原來的本金為多少萬元？ (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50

14. 求 $\frac{d}{dx} \tan^2 3x = ?$ (A) $2 \tan 3x \sec^2 3x$ (B) $6 \tan 3x \sec^2 3x$ (C) $2 \tan 3x$ (D) $6 \tan 3x$

15. 若一長方形內接於橢圓 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，且其面積最大，則此長方形的對角線長為何？ (A) $\sqrt{2}$ (B) $3\sqrt{2}$ (C) $4\sqrt{2}$ (D) $5\sqrt{2}$

16. 求 $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin 2x \sin^3 x \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{160}$ (B) $\frac{1}{80}$ (C) $\frac{1}{40}$ (D) $\frac{1}{20}$

17. 求 $\int \frac{1}{\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})} \, dx = ?$ (A) $-2 \ln |1 - \sqrt{x}| + c$ (B) $2 \ln |1 - \sqrt{x}| + c$ (C) $2\sqrt{x} - \ln |1 - \sqrt{x}| + c$ (D) $\frac{1}{2} \ln |x| + \ln |1 - \sqrt{x}| + c$

18. 求 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin \frac{x}{2} \, dx = ?$ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

19. 若 f(x) 為一連續函數，且 f(0) = 1，f(0.2) = 3，f(0.4) = 4，f(0.6) = 7，f(0.8) = 6， f(1) = 2，則將 [0, 1] 分割為 5 等分，以梯形法估計 $\int_0^1 f(x) \, dx$，所得之值為何？ (A) 4.3 (B) 4.5 (C) 4.7 (D) 4.9

20. 求 $\int_0^\infty \frac{1}{(1+2x)^3} dx = ?$ (A) $-\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{4}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{1}{2}$

21. 平面上曲線 $y = x^3 - 3x + 3$ 與 $y = 3$ 所圍區域，如圖(一)陰影部分，求其面積為何？

(A) $\frac{9}{8}$ (B) $\frac{9}{4}$ (C) $\frac{9}{2}$ (D) 9

22. 平面上曲線 $y = \tan x$ 與 $y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{4}$ 所圍區域，繞 $x$ 軸旋轉一圈，所得旋轉體的體積為何？ (A) $\pi - \frac{\pi^2}{4}$ (B) $\pi$ (C) $\pi + \frac{\pi^2}{4}$ (D) $\pi^2$

23. 已知 $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$，x 為任意實數，則 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n!} + \dots$ 之值為何？ (A) $1 - \frac{1}{e}$ (B) $\frac{1}{e}$ (C) $1 + \frac{1}{e}$ (D) 發散

24. 下列各級數，何者為發散級數？ (A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ (B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ (C) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n! + 2005}$ (D) $\sum_{n=1}^\infty 4 \cdot \left( \frac{23}{24} \right)^n$

25. 已知數列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ 滿足 $|2a_n - 5n^2| \leq 8$，且對所有 $n \geq 1$ 均成立，則 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2} = ?$ (A) $\frac{2}{5}$ (B) 2 (C) $\frac{5}{2}$ (D) 5