98年 - 98 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144119

1. 求\( \lim_{x \to 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3} \) =？ (A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 9

2. 設 \(f(x) = \sqrt{4x^2 + 9}\) ，則3 f (0) − f (1) =？ (A) – 4 (B) 2 (C) 9 − 13 (D) 4 

3. 下列函數之導函數，何者     錯誤     ？ (A)\( \frac{d}{dx}(\sin x) = -\cos x \) (B)\( \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \) (C)\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) (D)\( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \)

4. 若函數 y = 2cos x − 3tan x ，則 \( \frac{dy}{dx} \) =？ (A) \( -2\sin^2 x - 3\sec x \) (B) \( -2\sin x - 3\sec^2 x \) (C)\(2\sin x - 3\sec^2 x\) (D)\(2\sin x + 3\sec^2 x\)

5. 設一矩形周長為 5，則該矩形最大的面積為何？ (A)\( \frac{25}{16} \) (B)\( \frac{25}{9} \)(C)\( \frac{25}{4} \)(D)\( \frac{25}{2} \)

6. 有關連續函數之性質，請問下列敘述何者     錯誤     ？ (A) 多項式函數不一定為連續函數 (B) 三角函數 sin x 與 cos x 皆為連續函數 (C) 有理函數在除了使分母為零的點以外皆為連續 (D) 若函數 f 與 g 在 x = a 皆連續，則 k f ( 其中 k 為常數 )、 f ± g 、與 f ⋅ g 在 x = a 亦皆為連續 

7. 求\( \lim_{x \to \infty} \frac{98 + \log x}{\sqrt{2x+1}} \) =？ (A) 0 (B) 49√2 (C) 98 (D)\(98 + \frac{1}{\sqrt{2}}\)

8. 求 \( \frac{d}{dx} \ln [ \ln ( 5x + 2 ) ] \)=？ (A)\( \frac{5 \ln x}{5x+2} \)(B)\( \frac{5}{\ln(5x+2)} \)(C)\( \frac{5 \ln (5x + 2)}{5x + 2} \)(D)\( \frac{5}{(5x+2)\ln(5x+2)} \)

9. 設 f (x) =√10 x ，0 ≤ x ≤100 ，則 \( \sqrt{f(x) - x} \)的最大值為何？ (A) 4 (B) √21 (C) 2√6 (D) 5 

10.已知\(f(x) = x^2 - 2x - 3\)在區間 [ a , b ] = [ 0 , 3 ] 內符合均值定理的條件，則存在一數 c 使得 f (b) − f (a) = f ′(c)( b − a ) ，求 c =？ (A) 0.5 (B) 1 (C) 1.5 (D) 2

11.某家化妝品公司發現，防曬品的廣告費用 x 萬美元，就可以獲得報酬金額 y 萬美元， 其相關模式為\(y = -\frac{1}{8}x^3 + 3x^2 + 50\) \(0 \le x \le 20\) ， 0 ≤ x ≤ 20 ，求該產品的邊際報酬遞減點 ( 反曲點 ) 在 x =？ (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

12.求\( \int_{0}^{\pi} [\sin (2x) \cos x + \cos (2x) \sin x ] dx \) ？ (A) – 2 (B)\(-\frac{2}{3}\)(C)\( \frac{2}{3} \)(D) 2

13.用代換積分法，令\(u = \sqrt{2x+1}\) ，則\( \int_{0}^{4} e^{\sqrt{2x+1}} dx \) 可改為下列何式？ (A) \( \frac{1}{2} \int_{1}^{3} ue^u du \)(B)\( \int_{1}^{3} ue^u du \)(C)\( \frac{1}{2} \int_{0}^{4} ue^u du \)(D)\( \int_{0}^{4} ue^u du \)

14.求 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx \)= ？ (A)\( \frac{\pi}{2} - 1 \) (B)\( \pi - \frac{1}{2} \)(C) \( \frac{\pi}{2} \)(D)\( \frac{\pi}{2} + 1 \)

15.求\( \int \frac{1}{\sqrt{1-2x}} dx \) =？ (A)\(-\sqrt{1-2x}+C\) (B)\( -2\sqrt{1-2x} + C \) (C)\(-\ln|1-2x|+C\) (D)\( \frac{1}{2} \ln |1 - 2x| + C \)

16.設 \(f(x) = \begin{cases} x & x < 1 \\ x+1 & x \ge 1 \end{cases}\) ， 則\( \int_{0}^{2} xf(x) dx \) =？ (A)\( \frac{5}{3} \) (B)\( \frac{5}{2} \)(C)\( \frac{7}{2} \)(D)\( \frac{25}{6} \)

17.設\(F(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^2) dt\) ，則 F′(1) =？ (A) −1+ cos1 (B) cos1 (C) \( \frac{\sin 1}{2} \) (D) 2sin1

18.求\( \lim_{x\to\pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^2} \)=？ (A)\(-\frac{1}{2}\) (B) 0 (C)\( \frac{1}{2} \)(D) 1

19.利用梯形法則(四個子區間 n = 4)，估算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的近似值為何？ (A)\( \frac{5}{16} \)(B)\( \frac{11}{32} \) (C)\( \frac{3}{8} \)(D)\( \frac{13}{32} \)

20.求\( \int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx \) =？(A)\(-\frac{1}{2}\)(B)\(-\frac{1}{e}\) (C)\( \frac{1}{e} \) (D)\( \frac{1}{2} \)

21.平面曲線 \(y^2 = 2x - 3\) ， y > 0，求點( 2,1)處曲線的切線方程式為何？ (A) x – 2y = 1 (B) 2x – y – 3 = 0 (C) x + 2y – 4 = 0 (D) x – y – 1 = 0

22.平面上 y = x， y = sin x，x = 0，x =π 所圍區域如圖(一)所示之陰影區域，則其面積可由下列何式求得？

(A) \( \int_{0}^{\pi} (\sin x - x) dx \) (B)\( \int_{0}^{\pi} (x - \sin x) dx \) (C)\( \int_{0}^{\pi} (\sin x + x) dx \)(D)\( 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - x| dx \)

23.圖(二)為一底(正方形)邊長及垂直高度都是 10 cm 之四角錐，則其體積為多少 cm³ ？

(A)\( \frac{1000}{3} \)(B) 400 (C) 500 (D) 1000

24.下列各級數，何者收斂？ (A) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) (B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^{10}} \)(C)\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3n^2 - 2} \)(D)\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \)

25.求\( \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{5^k} - \frac{5}{2^k} \right) \)=？ (A)\(-\frac{11}{2}\)(B)\(-\frac{9}{2}\)(C)\(-\frac{7}{2}\)(D)\(-\frac{5}{2}\)