92年 - 92 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144718

1. 若 $f(x) = \frac{x^2}{2}$，$a$ 為一實數，則 $f(a^2 + 1) = ?$ (A) $\frac{a^2}{2} + 1$ (B) $\frac{a^4 + 1}{2}$ (C) $\frac{(a^2 + 1)^2}{2}$ (D) $\left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$

2. 求 $\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2+4} = ?$ (A) $-\frac{1}{4}$ (B) 0 (C) $\frac{1}{8}$ (D) $\frac{1}{2}$

3. 若 \( f(x) = \begin{cases} x+1 & , \quad x<0 \\ -x^2+1 & , \quad 0 \le x \le 1 \\ \sin(\pi x) & , \quad x>1 \end{cases} \)

，則 f(x) 之不連續點有幾個？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 無限大

4. 下列敘述何者正確？ (A) 若 f(x) 在 x=c 連續，則 f'(c) 存在 (B) 若 f'(c) = 0，則 f(c) 為相對極值 (relative extrema) (C) 若 f''(c) = 0，則點 (c, f(c)) 為曲線 y = f(x) 之反曲點 (inflection point) (D) 若 a < x < b時 f''(x) > 0，則曲線 y = f(x) 在區間 (a, b) 內凹向上 (concave up)

5. 若 $f(x) = 4x\sqrt{3x+1}$，則 f'(1) = ?(A) 6 (B) 9 (C) 11 (D) 12

6. 曲線 $y^2 - xy - 3x = 1$ 在點 (0, -1) 之切線斜率為何？ (A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2

7. 曲線 $y = 6 - x^3 + 3x^2$ 之切線斜率最大值為何？ (A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 10

8. 設 $f(x) = \int_0^{2x} \sqrt{1+t^3} \, dt$，則 f'(0) = ? (A) 0 (B) 1 (C) $\sqrt{2}$ (D) 2

9. 求 $\int (2 - 3x)^5 \, dx = ?$ (A) $-\frac{1}{2}(2 - 3x)^6 + C$ (B) $-\frac{1}{6}(2 - 3x)^6 + C$ (C) $-\frac{1}{18}(2 - 3x)^6 + C$ (D) $\frac{1}{18}(2 - 3x)^6 + C$

10. 求 $\int e^{2\ln x} \, dx = ?$ (A) $e^{\frac{x^3}{3}} + C$ (B) $e^{1+2\ln x} + C$ (C) $\frac{2}{x}e^{2\ln x} + C$ (D) $\frac{x^3}{3} + C$

11. 利用幾何觀念，求 $\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \, dx = ?$ (A) $\frac{9}{4}\pi$ (B) $3\pi$ (C) $\frac{9}{2}\pi$ (D) $9\pi$

12. 方程式 $\ln(1+x) = 1 + \ln(1-x)$ 的解 x = ? (A) 0 (B) e (C) $\frac{e-1}{e+1}$ (D) $\frac{e+1}{e-1}$

13. 若 $f(x) = e^{-x^2}$，則 f''(0) = ? (A) -2(B) $-\frac{2}{e}$ (C) 0 (D) $\frac{1}{e^2}$

14. 若 $f(x) = \sin x$，則 f(x) 的第 2003 階導函數 $f^{(2003)}(x) = ?$ (A) $-\sin x$ (B) $-\cos x$ (C) $\sin x$ (D) $\cos x$

15. 求 $\int \sin^3 x \, dx = ?$ (A) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$ (B) $\frac{\sin^4 x}{4\cos x} + C$ (C) $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$ (D) $\frac{\sin^4 x \cdot \cos x}{4} + C$

16. 求 $\int_0^3 |x-2| \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) 2 (D) $\frac{5}{2}$

17. 若使用代換積分法求 $\int_2^5 \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx$，令 $u = \sqrt{x-1}$，則原定積分式可代換為何？ (A) $\int_1^2 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (B) $\int_1^2 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$ (C) $\int_2^5 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (D) $\int_2^5 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$

18. 求 $\int_{-1}^1 xe^{-x} \, dx = ?$ (A) $-\frac{2}{e}$ (B) 0 (C) $\frac{1}{e}$ (D) $e + \frac{1}{e}$

19. 下列取積分何者為收斂？ (A) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (B) $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (C) $\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2} \, dx$ (D) $\int_1^3 \frac{1}{2-x} \, dx$

20. 下列各式何者正確？ (A) $\frac{d}{dx} 2^x = x \cdot 2^{x-1}$ (B) $\frac{d}{dx} \ln 2 = \frac{1}{2}$ (C) $\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln 2$ (D) $\int_0^1 2^x \, dx = \frac{1}{\ln 2}$

21. 已知 $\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，$-1 \le x < 1$，設 $\ln(1+x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，$-1 \le x \le 1$，則 $a_6 = ?$ (A) $-\frac{1}{3}$ (B) $-\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{6}$ (D) $\frac{1}{3}$

22. 已知連續函數 f(x) 的圖形通過 $A(0, \frac{1}{5})$，$B(\frac{1}{3}, \frac{4}{5})$，$C(\frac{2}{3}, \frac{2}{5})$，$D(1, \frac{3}{5})$ 四點 (如圖一)。 以梯形法 $n=3$ (3 等分) 求定積分，則 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 的近似值為何？
(A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{8}{15}$ (D) $\frac{11}{15}$ 

23. 拋物線 $y=3x-x^2$ 及直線 y=0 所圍區域 (如圖二)，繞 y 軸旋轉一圈所形成旋轉體 (如圖三) 的體積為何？
(A) $\frac{9}{2}\pi$ (B) $\frac{81}{10}\pi$ (C) $\frac{27}{2}\pi$ (D) $\frac{81}{4}\pi$

24. 拋物線 $y^2=2x$ 與直線 x-y=4 所圍成區域的面積為何？ (A) 9 (B) 18 (C) $\frac{62}{3}$ (D) $\frac{100}{3}$

25. 下列無窮級數何者為收斂？ (A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ (B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ (C) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{2n+1}$ (D) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$