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首頁 > 二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分 > 92年 - 92 二技統測_管理類(一)_專業科目(一)：微積分#144718 > 試題詳解

11. 利用幾何觀念，求 $\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \, dx = ?$
(A) $\frac{9}{4}\pi$
(B) $3\pi$
(C) $\frac{9}{2}\pi$
(D) $9\pi$

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12. 方程式 $\ln(1+x) = 1 + \ln(1-x)$ 的解 x = ? (A) 0 (B) e (C) $\frac{e-1}{e+1}$ (D) $\frac{e+1}{e-1}$

13. 若 $f(x) = e^{-x^2}$，則 f''(0) = ? (A) -2(B) $-\frac{2}{e}$ (C) 0 (D) $\frac{1}{e^2}$

14. 若 $f(x) = \sin x$，則 f(x) 的第 2003 階導函數 $f^{(2003)}(x) = ?$ (A) $-\sin x$ (B) $-\cos x$ (C) $\sin x$ (D) $\cos x$

15. 求 $\int \sin^3 x \, dx = ?$ (A) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$ (B) $\frac{\sin^4 x}{4\cos x} + C$ (C) $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$ (D) $\frac{\sin^4 x \cdot \cos x}{4} + C$

16. 求 $\int_0^3 |x-2| \, dx = ?$ (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) 2 (D) $\frac{5}{2}$

17. 若使用代換積分法求 $\int_2^5 \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx$，令 $u = \sqrt{x-1}$，則原定積分式可代換為何？ (A) $\int_1^2 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (B) $\int_1^2 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$ (C) $\int_2^5 \frac{u}{u^2+1} \, du$ (D) $\int_2^5 \frac{2u^2}{u^2+1} \, du$

18. 求 $\int_{-1}^1 xe^{-x} \, dx = ?$ (A) $-\frac{2}{e}$ (B) 0 (C) $\frac{1}{e}$ (D) $e + \frac{1}{e}$

19. 下列取積分何者為收斂？ (A) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (B) $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx$ (C) $\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2} \, dx$ (D) $\int_1^3 \frac{1}{2-x} \, dx$

20. 下列各式何者正確？ (A) $\frac{d}{dx} 2^x = x \cdot 2^{x-1}$ (B) $\frac{d}{dx} \ln 2 = \frac{1}{2}$ (C) $\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln 2$ (D) $\int_0^1 2^x \, dx = \frac{1}{\ln 2}$

21. 已知 $\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，$-1 \le x < 1$，設 $\ln(1+x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，$-1 \le x \le 1$，則 $a_6 = ?$ (A) $-\frac{1}{3}$ (B) $-\frac{1}{6}$ (C) $\frac{1}{6}$ (D) $\frac{1}{3}$

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