4. 級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 的收斂性為下列何者？


(A) 絕對收斂


(B) 條件收斂


(C) 發散，因為一般項非單調遞減


(D) 發散，因為一般項不趨近於 0

5. 設 $D = \{(x, y) : 0 \leq y \leq x \leq 1\}$。試求 $\iint_D (x + y) dA$ 之值為何？(A) $\frac{1}{3}$(B) $\frac{1}{2}$(C) $\frac{2}{3}$(D) 11

6. 參數曲線 $\begin{cases} x = t^2 + 1 \\ y = t^3 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ 在 $t = 1$ 處的切線方程式為何？(A) $y = x - 2$(B) $y = 2x - 4$(C) $y = -x + 2$(D) $y = x + 2$

7. 求冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n^2}$ 的收斂區間。(A) $(-1,3)$(B) $[-1,3)$(C) $(-1,3]$(D) $[-1,3]$

8. 設 $R$ 為第一象限中由曲線 $xy = 1, xy = 4$ 與直線 $y = x, y = 2x$ 所圍成的區域。試求$\iint_R \frac{x^2+y^2}{xy} dA$ 之值為何？(A) $\frac{3}{2}$(B) 2(C) $\frac{9}{4}$(D) 3

9. 在 $\mathbb{R}^3$ 中，能使向量 $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,a,1)$, $v_3 = (0,1,1)$ 線性相依的 $a$ 值為何？(A) 0(B) 2(C) -1(D) 1

10. 試求向量 $b = (1,2,2)$ 在子空間 $W = \text{span}\{(1,1,0), (1,0,1)\}$ 上的正交投影為何？(A) $(1,1,1)$(B) $(2,1,1)$(C) $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$(D) $(1,2,0)$2

11. 設 $P_2$ 為次數不超過 2 的實係數多項式空間。有一線性映射 $T: P_2 \rightarrow P_2$ 定義為 $T(p) = p' + p(0)$。若以 $B = \{1, x, x^2\}$ 為基底，將 $T$ 表示為矩陣 $M$，滿足 $[T(p)]_B = M [p]_B$。則矩陣 $M$ 為何？(A) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$(B) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$(C) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$(D) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

12. 對 $u_1 = (1,1,0)$、$u_2 = (1,0,1)$ 依此順序作 Gram-Schmidt 正交化時，第二個非零正交向量可取為下列何者？(A) $(1,1,0)$(B) $(1,0,1)$(C) $(0,1,-1)$(D) $(1,-1,2)$

13. 設 $A$ 為 $2 \times 2$ 可逆矩陣，且 $\text{tr}( A ) = 5$、$\det( A ) = 6$。求 $\text{tr}(A^{-1})$。(A) $\frac{6}{5}$(B) $\frac{5}{6}$(C) 1(D) $\frac{11}{6}$

14. 求數列 $a_n = n(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ 的極限。(A)0(B) $\frac{1}{2}$(C) 1(D) 發散

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