115年 - 115 金門縣國民中學正式教師聯合甄選：數學專長#141580

1. 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^3}$ 之值為何？

(A) $\frac{1}{6}$

(B) $\frac{1}{3}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) 1

2. 函數 $e^x \cos x$ 在 $x = 0$ 的泰勒級數展開中，$x^4$ 的係數為何？

(A) $-\frac{1}{6}$

(B) 0

(C) $\frac{1}{24}$

(D) $\frac{1}{6}$

3. 設 $F(x) = \int_x^{x^2} e^{t^2} dt$ 則 $F'(1)$ 之值為何？

(A) 0

(B) $e$

(C) $2e$

(D) $-e$

4. 級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 的收斂性為下列何者？

(A) 絕對收斂

(B) 條件收斂

(C) 發散，因為一般項非單調遞減

(D) 發散，因為一般項不趨近於 0

5. 設 $D = \{(x, y) : 0 \leq y \leq x \leq 1\}$。試求 $\iint_D (x + y) dA$ 之值為何？

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{2}{3}$

(D) 1

1

6. 參數曲線 $\begin{cases} x = t^2 + 1 \\ y = t^3 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ 在 $t = 1$ 處的切線方程式為何？

(A) $y = x - 2$

(B) $y = 2x - 4$

(C) $y = -x + 2$

(D) $y = x + 2$

7. 求冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n^2}$ 的收斂區間。

(A) $(-1,3)$

(B) $[-1,3)$

(C) $(-1,3]$

(D) $[-1,3]$

8. 設 $R$ 為第一象限中由曲線 $xy = 1, xy = 4$ 與直線 $y = x, y = 2x$ 所圍成的區域。試求

$\iint_R \frac{x^2+y^2}{xy} dA$ 之值為何？

(A) $\frac{3}{2}$

(B) 2

(C) $\frac{9}{4}$

(D) 3

9. 在 $\mathbb{R}^3$ 中，能使向量 $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,a,1)$, $v_3 = (0,1,1)$ 線性相依的 $a$ 值為何？

(A) 0

(B) 2

(C) -1

(D) 1

10. 試求向量 $b = (1,2,2)$ 在子空間 $W = \text{span}\{(1,1,0), (1,0,1)\}$ 上的正交投影為何？

(A) $(1,1,1)$

(B) $(2,1,1)$

(C) $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$

(D) $(1,2,0)$

2

11. 設 $P_2$ 為次數不超過 2 的實係數多項式空間。有一線性映射 $T: P_2 \rightarrow P_2$ 定義為 $T(p) = p' + p(0)$。若以 $B = \{1, x, x^2\}$ 為基底，將 $T$ 表示為矩陣 $M$，滿足 $[T(p)]_B = M [p]_B$。則矩陣 $M$ 為何？

(A) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

12. 對 $u_1 = (1,1,0)$、$u_2 = (1,0,1)$ 依此順序作 Gram-Schmidt 正交化時，第二個非零正交向量可取為下列何者？

(A) $(1,1,0)$

(B) $(1,0,1)$

(C) $(0,1,-1)$

(D) $(1,-1,2)$

13. 設 $A$ 為 $2 \times 2$ 可逆矩陣，且 $\text{tr}( A ) = 5$、$\det( A ) = 6$。求 $\text{tr}(A^{-1})$。

(A) $\frac{6}{5}$

(B) $\frac{5}{6}$

(C) 1

(D) $\frac{11}{6}$

14. 求數列 $a_n = n(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ 的極限。

(A)0

(B) $\frac{1}{2}$

(C) 1

(D) 發散

15. 下列集合何者在 $\mathbb{R}$ 中為緊緻集 (compact set) ?

(A) $(0,1)$

(B) $[0, \infty)$

(C) $\left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, n \geq 1\right\}$

(D) $\{0\} \cup \left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, n \geq 1\right\}$

16. 令 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q}, \end{cases}, x \in [0,1]$. 下列敘述何者正確？

(A) $f$ 黎曼可積 (Riemann integrable)，且積分值為 0

(B) $f$ 黎曼可積，且積分值為 1

(C) $f$ 不是黎曼可積，其下積分 (lower integral) 為 0、上積分 (upper integral) 為 1

(D) $f$ 在所有無理點 (irrational points) 連續

17. 令 $S = \{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}$ 為 $\mathbb{R}$ 的子集。試求 $S$ 的最小上界 $\sup S$ 之值為何？

(A) $S$ 無最小上界

(B) 1

(C) $\sqrt{2}$

(D) 2

18. 初值問題 $\begin{cases} y' + 2y = e^{-x} \\ y(0) = 0 \end{cases}$ 之解為何？

(A) $y(x) = e^{-x}$

(B) $y(x) = e^{-2x}$

(C) $y(x) = e^{-x} - e^{-2x}$

(D) $y(x) = e^{-2x} - e^{-x}$

19. 初值問題 $\begin{cases} y' = y(1 - y) \\ y(0) = \frac{1}{2} \end{cases}$ 之解為何？

(A) $\frac{1}{1+e^x}$

(B) $\frac{1}{1+e^{-x}}$

(C) $e^{-x}$

(D) $\frac{1}{2}$

4

20. 在加法群 $\mathbb{Z}_{12}$ 中，元素 [8] 的階 (order) 為何？

- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 6

21. 試問 $3^{100}$ 除以 7 的餘數為何？

- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4

22. 下列多項式何者在 $\mathbb{Q}[x]$ 中可約 (reducible)？

- (A) $x^2 - 2$
- (B) $x^2 + 1$
- (C) $x^2 + x + 1$
- (D) $x^2 - 1$

23. 設兩直線 $L_1: (x, y, z) = s(1, 0, 1)$, $L_2: (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 1, 1)$，其中 $s, t \in \mathbb{R}$。求 $L_1$ 與 $L_2$ 的距離。

- (A) 0
- (B) $\frac{1}{3}$
- (C) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
- (D) $\sqrt{3}$

24. 由向量 $a = (1, 2, 0)$, $b = (2, 1, 2)$ 張成的平行四邊形面積為何？

- (A) $\sqrt{14}$
- (B) $\sqrt{21}$
- (C) $\sqrt{29}$
- (D) 29

25. 數列滿足 $a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2} (n \geq 2)$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$. 試求一般項 $a_n$ 為何？

- (A) $n$
- (B) $2n - 1$
- (C) $2^{n-1}$
- (D) $2^n - 1$

5

26. 小明錢包裡有 10 個 1 元，6 個 5 元，9 個 10 元。小明隨機從中拿出 8 枚硬幣，有幾種不同的組合？

- (A) 42
- (B) 45
- (C) 48
- (D) 56

27. 小明錢包裡有 10 個 1 元，6 個 5 元，9 個 10 元。小明隨機從中拿出 2 枚硬幣，總和的期望值為何？

- (A) 9.6
- (B) 10
- (C) 10.4
- (D) 10.8

28. 怡君站在家豪西南方距離 $10\sqrt{2}$ 公尺處，而淑芳站在家豪東方 10 公尺處。令 $\alpha$ 表示從怡君看出去家豪和淑芳之間的夾角。則 $\sin \alpha =$

- (A) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
- (B) $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- (C) $\frac{1}{\sqrt{6}}$
- (D) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

29. 已知 $\alpha, \beta$ 為矩陣 $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ 的兩個特徵值，則 $\alpha^2 + \beta^2 =$

- (A) 5
- (B) 13
- (C) 8
- (D) 17

30. 怡君站在家豪西南方距離 $10\sqrt{2}$ 公尺處，而淑芳站在家豪東方 10 公尺處。怡君和淑芳之間的距離為多少公尺？

- (A) $15\sqrt{3}$
- (B) $10\sqrt{5}$
- (C) $10 + 10\sqrt{2}$
- (D) 24

31. 數列 $a_n$ 滿足 $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + n$，則 $a_{10} =$

- (A) 1525
- (B) 1530
- (C) 1535
- (D) 1540

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32. 函數 $f(x) = 4x^3 - 30x^2 + 72x + 7$ 在那個區間遞減？

(A) $0 < x < 1$

(B) $1 < x < 2$

(C) $2 < x < 3$

(D) $3 < x < 4$

33. 方程式 $3x+5y=150$ 有幾組正整數解？

(A) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 11

34. 求 $\int_1^2 x \ln x dx =$

(A) $3 \ln 2$

(B) $2 \ln 2 - \frac{3}{4}$

(C) $\frac{7}{4}$

(D) $e-1$

35. 已知 $V$ 是個三維的向量空間，非零線性映射 $T: V \rightarrow V$ 滿足 $T^2 = T$。以下何者是錯的？

(A) 1 是特徵值

(B) $\text{rank}(T) < \text{trace}(T)$

(C) $\text{trace}(T) + \text{null}(T) = 3$

(D) $\text{null}(T) > 0$

36. 金大公司在金門機場賣貨櫃，一包 200 元時一週可以賣 5000 包。公司發現定價每增加 10 元，每週會少賣 200 包。請問定價多少時，營業額會最高？

(A) 200

(B) 220

(C) 225

(D) 235

37. $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| = 2.5$ 的所有解總和為

(A) 4

(B) 6

(C) 7.5

(D) 8

38. 求 $7^{9999}$ 的最後 3 位數。

(A) 253

(B) 143

(C) 693

(D) 303

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39. 令 $S_n$ 表示邊長為 1 的正 n 邊形的面積。以下何者是錯的？

(A) $S_3 < S_4 < S_6 < S_8$

(B) $S_4 S_6 < S_3 S_8$

(C) $S_4 + S_6 < S_3 + S_8$

(D) $S_3 + S_4 + S_6 < S_8$

40. 在正方形 ABCD 中，A=(1, 1)，C=(3, 7)，B=(x, y) 在第一象限。則 x-2y=

(A)-2

(B) -1

(C) 0

(D) 1

41. 空間中的直線 $L: 6 - x = \frac{y+18}{5} = z$ 和錐面 $S: x^2 + y^2 = 2z^2$ 交於兩點 A、B。A、B 之間的

距離為

(A) 8

(B) $5\sqrt{2}$

(C) $6\sqrt{3}$

(D) 12

42. $F_n$ 表示費波那契數列的第 n 項。以下那一項是 7 的倍數？

(A) $F_{1001}$

(B) $F_{1250}$

(C) $F_{2468}$

(D) $F_{2880}$

43. 對函數 $f(x) = \frac{1}{x^3+x}$ 及其圖形，以下何者是錯的？

(A) 有一條水平漸近線

(B) 有一條垂直漸近線

(C) 對 y 軸對稱

(D) 對原點對稱

44. 雙曲線 $x^2 - 3xy + 2y^2 = 3$ 在點(1, 2)的切線斜率為

(A) $\frac{4}{5}$

(B) $\frac{3}{4}$

(C) $-\frac{3}{2}$

(D) $-\frac{5}{7}$

8

45. 小明在金門包了一艘船準備去小金門、大膽、二膽、獅嶼四個島。船長下午要趕回來接小孩，所以一定要分成兩天。請問有幾種不同的安排方式？

- (A) 48
- (B) 56
- (C) 72
- (D) 96

46. $A = \begin{bmatrix} 1 + \sqrt{3}i & 1 - \sqrt{3}i \\ 1 - \sqrt{3}i & -1 - \sqrt{3}i \end{bmatrix}$。則 $\det A^5 =$

- (A) 72
- (B) 32
- (C) 1024
- (D) 1440

47. $x^2 - 10x + 30 = 6\sqrt{x^2 - 10x + 25}$ 的所有解的總和為

- (A) 0
- (B) 6
- (C) 10
- (D) 20