題組內容

5. Suppose that f(x, y, z) is differentiable near (x, y, z) = (0, 1, 2) and f(0,1,2) = 10.

Assume that curves

lie on the level surface f(z, y,2) = 10 and (0, 1,2) =

(a) The tangent plane to f(r, y, z) = 10 at (x, y, z) = (0, 1, 2) is (8)

詳解提供者：助人為本

所以假如說題目要求切平面，你只需要兩個東西

1.一個點，(0,1,2)

2.一個法向量，對於等值曲面f(x,y,z)=10，它的法向量就是梯度。

所以解這題的第一步要先找出兩條曲線何時會通過(0,1,2)

對於r1(t)，令3t=0，可以知道t=0;

對於r2(t)，lnt=0，代表t=1;

接下來計算兩條曲線在該點的切線方向向量

求r1(t)和r2(t)的微分，分別代入t=0，t=1;

可以分別得到(3,2,0)、(1,2,-2)

再來利用內積為零解出梯度f

梯度f必須和剛剛算出來的兩個切線方向向量垂直(內積=0)

所以與r1'(0)可以求出fx=-1

與r2'(1)可以求出fz=1

最後一步就是寫出切平面方程式

套點法式，法向量充當係數，而令(x,y,z)和(0,1,2)去求

所以化簡完後的方程式為-2x+3y+2z=7