C. (1) 數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 的極限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = \underline{24}\) 。(2) 承上題，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = L\) ，

3(6) 2.(6) 建仔欲利用環形面積的低估與高估，來證明半徑為 r 的圓面積 \(A = \pi r^2\)。他首先將半徑 3 等分，然後利用同心圓劃分出三個區域，分別為區域 1、區域 2 和區域 3，如下所示：![img-0.jpeg](img-0.jpeg)| | 區域 1 | 區域 2 | 區域 3 || --- | --- | --- | --- || 圖示 | | | || 說明 | 半徑 \(\frac{r}{3}\) 的圓 | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域，小圓半徑 \(\frac{r}{3}\)，大圓半徑 \(\frac{2r}{3}\) | 寬度 \(\frac{r}{3}\) 的同心圓環區域，小圓半徑 \(\frac{2r}{3}\)，大圓半徑 \(\frac{3r}{3}\) || 面積的低估 | 以長 \(2\pi \cdot 0\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 0 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) || 面積的高估 | 以長 \(2\pi \cdot \frac{r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) | 以長 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3}\)，寬 \(\frac{r}{3}\) 的矩形做估計，面積為 \(2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\) |4接著，建仔將上表中對於 A 的估算寫成不等式：\[2\pi \cdot 0 \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} \leq A \leq 2\pi \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{2r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2\pi \cdot \frac{3r}{3} \cdot \frac{r}{3}\]現在，請重新將半徑 n 等分並仿照建仔的方法估算 A，然後使用夾擠定理證明圓面積公式\[A = \pi r^2\](12 分)

C. (1) 數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 的極限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = \underline{24}\) 。

(2) 承上題，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = L\) ，

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