108年 - 108 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#144297

1. 求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x + \cos x}{x - \sin x} = \) ______

2. 求 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \underline{\hspace{1cm}}\)

3. 求 \(\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx =\) ______ 。

4. 求 \(\int x \ln(x+1) dx = \underline{\hspace{3cm}}\)

5. 已知 \( x^2 - xy^2 + y^3 = 1 \)，求 \(\frac{dy}{dx} = \) ______

6. 令 \( y = \sin^{-1}(x^2+1) \)，求 \(\frac{dy}{dx} = \) ______ 。

7. 求 \(\frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2} \frac{t}{1+t^3}dt = \) ______ 。

8. 求 \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2} = \underline{\hspace{1cm}}\)

9. 求曲線 \(x^2+y^2=25\) 在點(3,4)上的切線。

10. 求 \(\int \frac{x-9}{x^2+3x-10}dx = \underline{\hspace{0.5cm}}\) 。

二、計算題：
(每題 10 分，共 40 分；請寫計算過程)
1. 求 \(f(x) = x^2e^x\) 以 \(x=0\) 為中心的泰勒級數 (Taylor Series)。

2. 求 \(\int_{0}^{8} \int_{\sqrt[3]{y}}^{2} e^{x^4} dxdy = ?\)

3. 求出所有 x 值使得冪級數 \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n+1}\] 收斂，並說明你的理由。

4. 求 \(\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \sin(y^2) dy dx = ?\)