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首頁 > 研究所、轉學考(插大)-微積分 > 102年 - 102 國立嘉義大學_碩士班(甲組)招生考試試題_應用數學系：微積分#146285 > 申論題

題組內容

1. Find the derivative of the following functions

(a) \( f(x) = \ln(\tan^{-1} x) \). (5%)

相關申論題

(b) \( g(x) = \csc^{-1}(e^x) \). (5%)

(a) Show that \( -1/2 \leq x/(1+x^2) \leq 1/2 \) for every value of \( x \). (5%)

(b)Suppose that \( f \) is a function whose derivative is \( f'(x)=x/(1+x^2) \). Use the result in part (a) to show that \( |f(b)-f(a)| \le \frac{1}{2}|b-a| \) for any \( a \) and \( b \). (5%)

3. For what value or values of \( a \) does \[ \int_{1}^{\infty} \left( \frac{ax}{x^2+1} - \frac{1}{2x} \right) dx \] converge? Evaluate the corresponding integral(s). (10 %)

4. Find the local maxima, local minima, and saddle points of the function \( f(x, y) = y \sin x \). (10%)

5. Show that the curve \( r(t) = (\ln t)i + (t \ln t)j + tk \) is tangent to the surface \( xz^2 - yz + \cos xy = 1 \) at \( (0, 0, 1) \). (10%)

6. Let the function \( f(x) = \begin{cases} a^2x^2 + bx - 3, & x < 1 \\ ax + b, & x \geq 1 \end{cases} \). Find \( a \) and \( b \) so that \( \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \). (10%)

(a)\[ \lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} \frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 4y^2} \] (5%)

(b) \[ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + 4} - 2}{x^2 + y^2} \](5%)

8. Find the interval of convergence for the power series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n} (2x - 1)^n . (10\%) \]

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