115年 - 115 大學入學考試中心_分科測驗：數學甲#142355

科目：高中分科◆數學甲 | 年份：115年 | 選擇題數：8 | 申論題數：9

試卷資訊

所屬科目：高中分科◆數學甲

選擇題 (8)

1. 已 知 圖 中「 粗 灰 線 」橢 圓 的 方 程 式 為   1，試 選 出 最 有 可 能 為 圖 中「 粗 黑 線 」
a2 b2
圖形方程式的選項。 y
x2 y 2
(A)  1 5
b2 a2
x2 y 2
(B)  1
a2 b2
x2 y 2 x
(C)   1 -10 -5 0 5 10
a 2 b2
x2 y2
(D)  1
b2 a 2 -5
x2 y 2
(5)   1
b2 a 2
2. 已 知 a1 , a2 , a3 , 為 首 項 為 1 、 公 比 為 r 的 無 窮 等 比 數 列 ( 其 中 r 為 非 零 實 數 ) ，
且 知 兩 無 窮 等 比 級 數 a1  a2  a3    an   與 a1  a3  a5    a2 n 1   皆 收 斂 且 其 乘 積
為 1。 試 選 出 正 確 的 r 值 。
1 1 3 1 3
(A)  (B) (C)
2 2 2
1 5 1 5
(D) (5)
2 2

 
3. 對 任 意 實 數 x ， 試 選 出 函 數 f ( x)  sin  x    sin x  3 cos x 的 最 大 值 。
 3
(A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 1  2 (5) 1  3
複選題
4. 箱 中 有 編 號 分 別 為 1, 2,3 的 球 各 n1 , n2 , n3 顆 ( 其 中 n1 , n2 , n3 皆 為 正 整 數 ) 。 隨 機 抽 取
，所 抽 出 球 的 編 號 為 1, 2,3 的 機 率 分 別 記 為 p1 , p2 , p3。
一 球( 每 球 被 抽 中 的 機 率 相 等 )
試選出正確的選項。
p2
(A) 在 已 知 抽 出 一 球 且 此 球 不 是 1 號 球 的 條 件 下，則 該 球 為 2 號 球 的 機 率 為
1  p1
(B) 抽 出 球 編 號 的 期 望 值 等 於 2  p3  p1

(C) 若 n1 , n2 , n3 為 等 差 數 列 ， 則 p1 , p2 , p3 亦 為 等 差 數 列
1
(D) 若 n1 , n2 , n3 為 等 比 數 列 ， 則 p2 
3
1
(E) 若 pk  對 k  1,2,3 都 成 立 ， 則 n1 , n2 , n3 可 以 構 成 一 個 三 角 形 的 三 個 邊 長
2

a  2i
複選題
5. 設 a 為 實 數 ， 關 於 複 數 z  的 性 質 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 ( 其 中 i  1 ， z 為 z
1  2i
的共軛複數)。
a4
(A) z 的 實 部 為
5
(B) 若 z  z ， 則 a  1
2 4
(C) z 
5

(D) 若 a  0 ， 則 z 的 主 輻 角 大 於 

(E) 無 論 a 值 為 何 ， z 都不 會 落 在 複 數 平 面 上 的 第 一 象 限
複選題
6. 對 於 實 係 數 多 項 式 f ( x ) ，將 閉 區 間 [ a, b] 分 割 成 三 等 分 段，取 每 個 分 段 左 端 點 上 的
f ( x ) 函 數 值 所 得 到 的 黎 曼 和 記 為 M ab ( f ) ，
ba  ba  2(b  a)  
即 M ab ( f )   f (a)  f  a    f a   ；
3   3   3  

取 每 個 分 段 右 端 點 上 的 f ( x ) 函 數 值 所 得 到 的 黎 曼 和 記 為 N ab ( f ) ，

ba  ba  2(b  a)  
即 N ab ( f )   f a   f a    f (b)  。
3   3   3  
若 已 知 f ( x) 及 其 一 階 與 二 階 導 函 數 在 三 段 開 區 間 的 正 、 負 ， 如 下 表 ：
區間 (2,3) (4,5) (6,7)
f ( x) 正 負 負
f ( x ) 負 正 負
f ( x ) 負 負 正

例 如 ： 在 開 區 間 (2,3) 上 ， 滿 足 f ( x )  0 ， f ( x )  0 且 f ( x)  0 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(A) 在 開 區 間 (4,5) 上 ， 函 數 y  f ( x) 遞 增 且 圖 形 凹 口 向 上
(B) 在 閉 區 間 [5, 6] 上 ， 函 數 y  f ( x) 的 圖 形 有 反 曲 點
3
 f ( x) dx  M ( f )
3
(C) 2
2
5
 f ( x) dx  N ( f )
5
(D) 4
4

1
 f ( x) dx  2  M ( f )  N ( f ) 
7
7 7
(5) 6 6
6

1 x 
複選題
7. 考 慮 函 數 f (x)  log  ，試選出正確的選項。
1 x 
(A) 當 x  1 時 ， f (x ) 都 有 意 義

(B) 當 f ( x ) 與 f ( x) 都 有 意 義 時 ， f ( x )   f ( x) 成 立

(C) 若 f ( x )  0 ， 則 x  0

(D) 存 在 實 數 a ， 滿 足 f (a )  100
1 x
(5) 坐 標 平 面 上 ， y  f ( x) 的 圖 形 與 y  101 x 的 圖 形 對 直 線 y  x 對 稱
複選題
8. 坐 標 平 面 上 兩 向 量 u , v 滿 足 | u  v |  2 與 u  v  (2,2) 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。


(A) | v  (1,1)|  1
(B)

u  v  1

(C)

| |
v 2

(D)

u 不可能與 v 平行

(E) 若 u , v 的 夾 角 為  ， 則 | u | | v | sin   2 2

申論題 (9)

9.某甲到菜市場買蓮霧、草莓與葡萄共三種水果，每斤的價格依序為110、190與160元。已知某甲共買了11斤半的水果，共花費1945元，且草莓比葡萄多買了2斤。設蓮霧、草莓與葡萄依序分別買了x、y與z斤，將以上訊息寫成三元一次聯立方程式，再利用高斯消去法化簡得到增廣矩陣\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & \frac{23}{2} \\ 0 & 8 & a & | & 68 \\ 0 & 0 & 1 & | & b \end{bmatrix} \)，則a=，b=。

10.坐標平面上，一圓C的圓心在x軸上，且圓C與兩直線\(L_1 : y = \frac{4}{3}x\)、\(L_2 : y = -\frac{3}{4}x^1\)皆不相交。設圓C上的點到L1之最短距離為d1，圓C上的點到L2之最短距離為d2。若d1是d2的三倍，則過原點(0,0)且與圓C相切的直線，其斜率為。(化為最簡根式)

11.某甲參加一遊戲，其規則如下：

在第一階段連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數X為出現點數大於4點的次數，若X≥3才可進入第二階段，否則就淘汰。

第二階段仍然連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數Y為出現偶數點數的次數，若Y=X-1才可獲獎，否則就淘汰。

則在某甲獲獎的條件下，X=3的機率為。(化為最簡分數)

12.試證明q(0)=q(1)。(非選擇題，2分)

13.試求p(x)。(非選擇題，4分)

14.試求多項式函數\( \int_{1}^{x} (p(t) - q(t)) dt \)在閉區間\( \left[ \frac{1}{2}, 3 \right] \)上的最大值與最小值。(非選擇題，6分)

15.點(1,0,0)到E1的距離為。(化為最簡根式)(選填題，2分)

16.設另一平面E3與L平行且包含直線\( \begin{cases} x = 3+t \\ y = -2-t \\ z = 2+3t \end{cases} \)，t為實數，試求平面E3的方程式。(非選擇題 ， 4 分 ）

17.承16，設另一平面E與三平面E1,E2,E3皆垂直，且設E分別與E1、E2、E3的三條交線在E上所圍出的三角形為Γ。試證明Γ為正三角形並求Γ的邊長。(非選擇題，6分)