(2) 請說明你的估計結果跟實際值 \( \log 229 \) 相比，會是低估或是高估？為什麼？

4. (1) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數，且 \( a＞b \)，\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3 \)，求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)？

(2) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數，且 \( a＞b \)，\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=k \)，求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)？（以 \( k \) 表示）

(1) 已知 且 ，且BE與CD交於P點，若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \)，求 \( (\alpha,\beta) \)？

(2) 已知 且 ，且交於P點，若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \)，求 \( (\alpha,\beta) \)？（以 \( a \)、\( b \)、\( c \)、\( d \) 表示）

6. (1) 試利用數學歸納法證明：對每個大於1的整數 \( n \)，恆有\[ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} ＜ \frac{3}{\sqrt[2^{n-1}]{n+2}} \]請注意：上式右端的分母是 \( n+2 \) 的正 \( 2^{n-1} \) 次方根。

(2) 試證：對每個大於1的整數 \( n \)，恆有 \( \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} ＜ 3 \)。

1. 有三種未知物P、Q、R，其分子式均為C4H8O。以下是P、Q、R的特性：P能使溴退色，當用金屬鈉處理時並未觀察到氫氣的釋放，且P可被水解，放出含乙醇之產物。Q可以被還原成醇類，產物的分子式為C4H10O。而Q亦可由此醇類產物，經K2Cr2O7的酸性水溶液氧化而得到，但當Q與多倫試劑混合，並不引銀鏡反應。R與溴、金屬鈉、多倫試劑均無明顯反應，但水解後可得一產物，其分子式為C4H10O2。此水解產物可被KMnO4氧化，氧化產物的分子式為C4H6O4。寫出P、Q、R的結構式？

2. 地球上的元素可以以週期表排列的方式，來呈現其規律性。此規律性以電子按順序填入四個量子數n, l, ml, ms規範，所形成的軌域來推導。例如n = 2時，則有一個2s (l= 0, ml = 0) 軌域，三個2p (l = 1, ml = -1, 0, 1)軌域，總共四個軌域。當元素的質子數增加時，電子則順序填入適當軌域，可以得到鋰至氖等第二週期之八個元素。若另一宇宙之元素所形成的週期表，仍可以以四個量子數n, l, ml, ms來推導，但受另一不同之規律的規範，四個量子數n, l, ml, ms彼此關係為：n為大於0的正整數 (0 ＜ n)。l為小於或等於n但大於0的正整數 (0 ﹤l ≤ n)。ml必須是奇數(0不是奇數)，它可以是正整數或負整數，但若是正整數，則l ≤ ml ≤ 2l，若是負整數，則-2l ≤ ml ≤ -l。ms = 1/2或-1/2的關係仍然維持。電子會依下列順序填入軌域：(i) n, l, ml, ms由小而大順序填入，(ii) n=1填滿後，再填n=2等，其餘量子數亦同。依據此規範，計算週期表上，n = 4的元素總共有幾個？

3. 一位傑出女化學家執行了一系列有關鉑化合物的反應，取得A、B及C三個化合物。她發現A、B及C都是白色、逆磁性的結晶化合物，元素分析的所得的示性式結果亦均為PtCl2(NH3)2。化合物A可溶於極性溶劑，如乙醇。化合物B可溶於石油醚(羥類的混合物)和四氯化碳。化合物A及B為非電解質，但化合物C為强電解質。三者之中，有一個化合物可用於癌症治療。請根據上述推論，分別畫出A、B及C三個化合物之結構式為何？

4. 已知HX為一弱酸，酸解離常數Ka = [H+][X-]/[HX]，若與MOH反應可形成MX鹽類，其Ksp為1.8 x10-15。將MX鹽，溶於在一濃度為4.0 M的強酸溶液中，由於強酸中，會造成HX生成H+與X-的新平衡，因此其溶解度可達2.4 x10-3 M。請問弱酸HX的Ka值為何？

115年 - 115 新北市立國民中學_教師聯合甄選試題：數學科#140274

115年 - 115 -1 國立南科國際實驗高級中學_教師甄選試題：高中數學科#140146

115年 - 115 高雄市立高雄高級中學_正式教師甄選試題︰數學科#140111

115年 - 115 臺北市公立國民小學教師聯合甄選初試基礎類科知能試題：數學#139894

115年 - 115 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選試題：數學科#139603

115年 - 115-1 國立彰化高級中學_教師甄選試題：數學科#139364

115年 - 115 臺北市立南港高級中學_正式教師甄選＿高中數學科#139341

115年 - 115-1 新北市立板橋高級中學_正式教師甄選試題：數學科#139339

115年 - 115-1 臺北市立南湖高級中學_正式教師甄選試題：數學科#139253

115年 - 115 國立屏東大學_各師資類科教育學程甄選試題：數學#139246