二、選填題(每格 5 分，共 30 分)

A. 設 \(f(x) = x^2 + x\)，g(x) = 3x + 4，則 \((g \circ f)(1) + (f \circ g)(2) = \underline{⑩⑪⑫}\)。

B. 函數 \(f(x) = \sqrt{35 - 2x - x^2}\) 的值域為閉區間 \([\underline{22}, \underline{23}]\)。

C. (1) 數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 的極限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = \underline{24}\) 。(2) 承上題，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = L\) ， 則數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 從第 \(\underline{25}\underline{26}\underline{27}\) 項開始，其值與 L 的差 \(\left| \frac{4n^2}{n^2+9} - L \right|\) 會小於 \(\frac{1}{10000}\) 。

D. 若 \(\lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = L\) ，則 x 與 5 的距離 |x - 5| 小於等於何值時，其函數值與 L 的差 \(\left| \frac{1}{x} - L \right|\) 最多是 \(\frac{1}{10000}\) ？

1.在校慶園遊會中，創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶，計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中，當顧客支付 20 元後，必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束，顧客將獲得 500 cc(立方公分)的紅茶；但如果硬幣投擲出正面，然後再次投擲出反面，顧客將獲得的紅茶量為 500 + 250 cc。若連續投擲 2 次正面，然後才投擲出反面，則顧客獲得的紅茶量為 500 + 250 + 125 cc，依此類推。若連續投擲 n - 1 次正面，然後才投擲出反面(總共投擲了 n 次硬幣)，顧客將獲得的紅茶量為\[500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \text{ cc} 。\]然而，700 cc 紅茶的所有成本是 20 元，因此當支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過 700 cc 時，建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性，請計算支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。(12 分)

2.建仔欲利用環形面積的低估與高估，來證明半徑為 r 的圓面積 \(A = \pi r^2\)。他首先將半徑 3 等分，然後利用同心圓劃分出三個區域，分別為區域 1、區域 2 和區域 3，如下所示：接著，建仔將上表中對於 ?? 的估算寫成不等式：現在，請重新將半徑 ?? 等分並仿照建仔的方法估算 ??，然後使用夾擠定理證明圓面積公式? = ??2(12 分)

3. 以下是課本對於自然常數 e 的介紹：數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 為嚴格遞增數列，而 \(e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284 \dots\)某日建仔用電腦(Excel 軟體)計算 \((1 + \frac{1}{10})^{10}, (1 + \frac{1}{100})^{100}\),\((1 + \frac{1}{1000})^{1000}, \dots, (1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的值，卻驚訝發現：當 k = 15 時，\((1 + \frac{1}{10^k})^{10^k}\) 的計算結果是 \(3.035035207 \dots\)，截圖如下： 為確認是電腦的計算出了問題，請證明：(1)\[(1 + \frac{1}{n})^n\]\[= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n-1}{n})\](6) (2)對於 \(n = 1, 2, 3, \dots\)，數列 \(\langle (1 + \frac{1}{n})^n \rangle\) 的每一項皆小於 3。

1. 設函數 \(f(x) = \frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}\) , 則 \(f'(5) = \frac{\textcircled{4}}{\textcircled{5}\textcircled{6}}\) 。

2. 設函數 \( g(x) = (x^2 + 2x - 9)^5 \)，則 \( g(x) \) 在 \( x = 2 \) 處的導數為 ⑦ ⑧ 。

3. 設函數 \(f(x) = x^3 - 8x + 4\)，則過點 \(P(1,1)\) 的切線方程式為

4. 設 $f(x), g(x)$ 皆為首項係數為 1 的二次函數，且 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-3}{x-2} = 5$ , $\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-5}{x-2} = 3$ 。 令 $F(x) = f(x)g(x)$，則 $F'(2) = \underline{12} \underline{13}$ 。

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