所屬科目：教甄◆數學
1. 已知多項式 $ax^3+bx^2+5x-3$ 能被 $x^2+x+3$ 整除，a+2b之值為何? (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 7
2. 設 $a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt[3]{3}$、$c=\sqrt[6]{6}$，a, b, c 三數的大小關係為何? (A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>a>c (D) b>c>a
3. 設正實數 x,y,z,k 滿足 2+log2 x = 4+log4 y = 8+log8 z = k，且 x<y<z，下列哪一個「不可能」是k值？(A) 3 (B) 7 (C) 16 (D) 20
4. 甲、乙、丙三人要在排成一列的8張椅子中選座，甲不坐最左邊的三張椅子且不與乙、丙相鄰，而乙、丙兩人必須相鄰，試問共有幾種不同的坐法? (A) 18 (B) 20 (C) 36 (D) 38
5. 透過臉部表情協助識別人類情緒的系統，快樂被正確識別的機率為0.7，不快樂被正確識別的機率為 0.8；某批照片被識別為快樂的比例是0.5。試求被識別為快樂的照片中，真實情緒確實為快樂的條件機率。 (A) 0.35 (B) 0.60 (C) 0.70 (D) 0.84
6. 設 x,y 為實數，已知 x+2y=2，試求 2x+4y 之最小值。 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
7. 在坐標平面上有2個非零且不平行的向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，$|\vec{b}|=1$， $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$，且 $\vec{a}+\vec{b}$ 與 $\vec{b}$ 垂直。下列敘述何者正確? (A) $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$ (B) $|\vec{a}|=\sqrt{2}$ (C) $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$ (D) $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角為60°
8. 正多面體有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體及正二十面體等五種。正八面體有8個面，有a條邊，有b個頂點；正十二面體有12個面，有c條邊，有d個頂點。請問 (a-b)+(c-d)=? (A) 10 (B) 12 (C) 16 (D) 20
9. 袋中有標示2、5、8、11、14、17、20等7種分數的球各10顆。心儀先由袋中摸出10顆球，心儀將球全部放回後志翔再由袋中摸出9顆球，志翔將球全部放回後秉承再由袋中摸出8顆球。請問下列何者可能是心儀、志翔和秉承的得分總和? (A)心儀62分，志翔72分，秉承31分 (B)心儀61分，志翔78分，秉承42分 (C)心儀83分，志翔64分，秉承52分 (D)心儀90分，志翔61分，秉承32分
10. 已知 $M=230 \times 10+17$，且 $17 \div 115$ 的商數是 0.147，餘數是 0.095。請問 M÷115 = ? (商數以四捨五入法取到小數點後第二位)。 (A) 17.15 (B) 20.15 (C) 123.15 (D) 200.15
11. 攝氏溫度選擇水結冰時的溫度為0度，水沸騰時的溫度為100度。華氏溫度選擇水結冰時的溫度為32度，水沸騰時的溫度為212度。如果攝氏10度是華氏 x 度，華氏122度是攝氏 y 度，請問 x 和 y 相差多少? (A) 0 (B)(C) 112 (D)
12. 已知 $9996 \times 9997 = 99930012$。甲 $= 9995 \times 9996$，乙 $= 9997 \times 9994$，請問甲和乙相差多少? (A) 0 (B) 2 (C) 9996 (D) 9997
13. 甲富翁在最近這四年當中，財產每年變化率依序為：增加25%、增加25%、減少25%、減少25%，則這四年中，有關甲富翁財產總變化率的說法，下列何者正確? (A)約減少25% (B)約減少12% (C)沒有變化 (D)約增加25%
14. 圓外一點 P 對圓 O 做兩切線交圓 O 於 A、B 兩點，若 $\overline{PA}=10$，則 $\overline{PB}$ 的值為多少? (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
15. 假設複數 $z = \cos 120^\circ + i \sin 120^\circ$，則 $z+z^2 = ?$ (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) -2
16. 已知某三角形的三邊長分別為 $2\sqrt{6}$ 公分、$5\sqrt{2}$ 公分與9公分則此三角形為何種三角形? (A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)以上皆有可能
17. 下列5個實數中有幾個是有理數 $\sqrt{2},\pi,0.\overline{999},\sqrt{\frac{2}{3}},0$? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
18. 已知 $x,y,z$ 皆為實數，求 $\sqrt{(2-x)^2+(10-y)^2+(2-z)^2}+\sqrt{(10-x)^2+(20-y)^2+(6-z)^2}$ 之最小值為? (A) $4\sqrt{3}$ (B) $4\sqrt{5}$ (C) $6\sqrt{3}$ (D) $6\sqrt{5}$
19. 試問十進位中的2026在二進位的表示法中長度有幾位數? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13
20. 若 $a=2026^{2024}, b=2025^{2025}, c=2024^{2026}$ 則 $a,b,c$ 的大小關係為? (A) $a (B) $c (C) $a (D) $c
21. 試問 $\sum_{n=1}^{2026}[\log n]=?$ 其中 $[x]$ 表示小於或等於 $x$ 的最大整數。 (A) 4970 (B) 4971 (C) 4972 (D) 4973
22. 若一組數據的標準差為0，代表什麼意義? (A)數據全部為不同 (B)數據全部相同 (C)平均數為0 (D)數據呈常態分布
23. 若樣本中只有少數人薪水超過一百萬美元，而大部分的樣本薪水都低於五萬美元，哪一種集中傾向測度適用於薪水的測量值? (A)平均數 (B)中位數 (C)眾數 (D)標準差
24. 無窮等比級數 $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...$ 的和為何? (A) $\frac{4}{3}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) 2 (D)發散
25. 已知直線 $L: 3x-4y+k=0$ 與圓 $x^2+y^2=1$ 相切，則 $k$ 之絕對值為何? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7
26. 點P在橢圓 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上,$F1、F2$為此橢圓的焦點,三個點P、$F1、F2$形成$\triangle PF1F2$,其周長為何? (A) 10 (B) 16 (C) 18 (D) 20
27. 解不等式$|2x-1|+|x+2|<5$? (A) $-2 (B) $-\frac{4}{3} (C) $-2 (D) $-1
28. 指數函數 $y=a^{x}$,若$0 (A)遞增 (B)遞減 (C)常數 (D)週期
29. 若 $\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$,則$\sin\theta\cos\theta$之值為何? (A) $-\frac{3}{4}$ (B) $-\frac{3}{8}$ (C) $\frac{3}{8}$ (D) $\frac{3}{4}$
30. 計算 $4^{5}\times3^{3}\times125^{3}$ 的結果為幾位數? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
31. 數學問題「李老師要學生在1公分方格紙上畫出邊長20公分的長方形,可以有幾種畫法?」,本問題適合用來建立哪一種數量關係? (A)積不變 (B)商不變 (C)差不變 (D)和不變
32. 下列哪一個問題最適合介紹「分配律」? (A)一打鉛筆12枝,大寶買了2盒又6枝,大寶一共買了多少枝鉛筆? (B)一盒糖果8顆,大寶買了4盒、小寶買了3盒,二人共買了多少顆糖果? (C)一袋餅乾10片,每5袋裝成一箱,大寶買了6箱,大寶共買了多少片餅乾? (D)一盒巧克力9顆,商品架上一排放3盒巧克力、排了8排,商品架共有多少顆巧克力?
33. 要計算「扇形面積」時,需要先學習下列哪些知識? 甲:圓面積公式 乙:圓周長公式 丙:圓周率意義 丁:分數倍意義 戊:分數小數四則運算 (A)甲、丙、丁 (B)甲、乙、丁 (C)甲、乙、丙、丁 (D)甲、乙、丙、丁、戊
34. 小美每年生日時,爸爸都會在牆上記錄小美的身高。小美今年生日時發現自己比去年生日長高了一點。這種長度比較方式屬於哪一種測量活動? (A)直接比較 (B)間接比較 (C)個別單位比較 (D)常用單位比較
35. 關於「重量」的敘述,下列何者「不是」學童的迷思概念? (A) 將蘋果切成小塊後,總重量會改變 (B) 看起來比較大的物品,重量就比較重 (C) 兩物體放在天平上,下垂那一端的物體比較重 (D) 將一塊黏土壓平後,壓扁後的黏土重量和原本的不一樣
36. 下列哪一個問題最容易和學童認為「乘法會讓結果變大」產生認知衝突? (A) $2\frac{3}{5} \times \frac{10}{9}$ (B) $\frac{3}{5} \times 1\frac{4}{7}$ (C) $1.8 \times 0.6$ (D) $0.7 \times 1.5$
37. 關於「等值分數」、「約分」、「擴分」、「通分」四者的關係,下列哪一個描述最恰當? (A) 約分、擴分、通分都是等值分數的不同名稱 (B) 等值分數是指同一個分數寫得比較簡單或比較複雜 (C) 約分與擴分是「把一個分數改寫成它的等值分數」,通分是「讓兩個分數有相同分母」 (D) 只要通分一定會得到最簡分數
38. 關於「小數點的功能」,下列哪一個說法最正確? (A) 小數點是用來區分整數和小數兩個世界的界線 (B) 小數點是用來表示有幾個「個分位」 (C) 小數點是對稱中心,數字要左右平均才是標準小數 (D) 小數點是用來告訴我們「個位在哪裡」
39. 老師想要設計同時包含了加法原理和乘法原理的問題情境進行引導,下列何者最適切? (A) 一家便當店有2種素食主菜、3種葷食主菜,以及2種飲料,小明想要點主菜和飲料進行搭配,他有幾種選擇? (B) 老師要從鼓樂社找1位高年級同學上台打鼓,鼓樂社中五年級學生有8人,六年級有13人,老師有幾種選擇? (C) 小華有3件上衣(紅、藍、綠)和4條褲子(黑、白、灰、卡其),他每天上學要選1件上衣搭配1條褲子,他有幾種搭配方式? (D) 在允許重複的情況下,1、2、3可排出幾種二位奇數?
40. 學生要學會比例尺,下列何者「不是」其應具有先備知識? (A) 放大與縮小 (B) 比與比值 (C) 平均速度 (D) 長度測量
41. 兒童要能夠正確「計數」,則必須滿足四個條件,下列「何者為非」? (A) 被數的東西與計數的名稱之間要建立一對一的對應 (B) 被數的東西要維持不變的順序 (C) 計數的名稱要維持不變的順序 (D) 運用基數原理
42. 「甲:認識比和比值」,「乙:解題:基準量與比較量」,「丙:圓周率、圓周長、圓面積、扇形面積」。根據108課綱在這三個教材內容的教學先後順序,下列何者正確? (A) 甲乙丙 (B) 甲丙乙 (C) 乙甲丙 (D) 丙甲乙
43. 林老師要幫學生區分「質數、合數、1」。他讓學生列出1~12的所有因數,並將1~12分成三類,甲:「因數只有1個的數」乙:「因數剛好2個的數」丙:「因數有3個或更多的數」。有關『甲、乙、丙』和『質數、合數、1』的對應,下列何者正確? (A) 甲:質數,乙:合數,丙:1 (B) 甲:合數,乙:質數,丙:1 (C) 甲:1,乙:質數,丙:合數 (D) 甲:1,乙:合數,丙:質數
44. 情境甲:「桌面上有紅、黃、藍、綠四種顏色的積木,請學生統計各顏色個數。」情境乙:「袋中有紅、黃、藍、綠四種顏色的積木,每次抽出1個再放回,共抽很多次,要統計各顏色出現的次數。」若要安排「劃記」活動,教師應選何種情境較恰當? (A) 只能選情境甲 (B) 只能選情境乙 (C) 兩個皆可 (D) 兩個都不適合
45. 老師想將一年五班同學分成「喜歡足球」與「喜歡籃球」兩類,但她發現有些同學兩種都喜歡,有些兩種都不喜歡。老師發現很多名字被寫在兩邊或兩邊都沒寫。為了讓分類活動可以順利進行,老師應優先強調哪一個分類原則? (A) 每個人可以同時在兩類 (B) 只要大部分同學有被分到就好 (C) 不同類之間不可有交集、每個物件必須屬於某一類 (D) 應該改分成三類:足球、籃球、其他
46. 幾何思考層次理論中,在哪一層次的學童能夠理解長方形一定是平行四邊形的意義? (A) 視覺層次 (B) 描述分析層次 (C) 關係層次 (D) 嚴密性層次
47. 在下列的敘述中,當「一」當成一個計數單位的有哪些? 甲:兩個 $\frac{1}{4}$ Pizza合起來是一片Pizza。 乙:3包糖果就是12個 $\frac{1}{4}$ 包糖果。 丙:一塊蛋糕是一塊蛋糕,分成4等份其中的1份。 丁: $\frac{3}{4}$ 塊月餅是由3個 $\frac{1}{4}$ 月餅合起來的。 (A) 甲、乙、丁 (B) 乙、丙、丁 (C) 甲、乙、丙 (D) 甲、乙、丙、丁
48. 老師在進行「正方形、長方形與三角形」基本平面圖形分類的教學活動時，下列哪些是老師準備教具時應有的考量？ 甲：應包含銳角三角形、鈍角三角形與直角三角形。 乙：應避免長與寬相當接近的長方形。 丙：應準備內角相同，但邊長不同的三角形。 (A)甲、乙 (B)甲、丙 (C)乙、丙 (D)甲、乙、丙
49. 當資料間沒有連帶的關係，只用來比較資料間的大小時，適合用哪一種統計圖表呈現？ (A)直方圖 (B)長條圖 (C)折線圖 (D)圓形圖
50. 有一數學問題「媽媽每16分鐘可以跑公園一圈，連續跑了1小時20分鐘，是跑了公園幾圈？」這是屬於哪一種除法類型？ (A)離散量情境的包含除 (B)連續量情境的包含除 (C)離散量情境的等分除 (D)連續量情境的等分除
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